確率分布の問題は？サイコロ2個を使った基本的な解き方を解説！

確率分布の問題は？サイコロ2個を使った基本的な解き方を解説！

サイコロを2個同時に振る問題は、確率の基本を学ぶうえで代表的なテーマです。

一見すると単純な足し算に見えても、出方を正しく数えなければ確率分布を誤ってしまいます。

本記事では、2個のサイコロの和を中心に、場合の数、表の作り方、確率の求め方、よくある間違いまで順を追って紹介します。

順序を区別して考えることを意識すれば、確率分布の問題はぐっと整理しやすくなるでしょう。

サイコロ2個の確率分布の結論

それではまず、サイコロ2個を使う確率分布の基本的な結論について解説していきます。

通常の6面サイコロを2個振ると、起こり得る組合せは全部で36通りです。

和が7になる組合せは6通りあるため、確率は6分の1になります。

一方で、和が2または12になる組合せは各1通りしかなく、確率は36分の1です。

和の中央付近ほど出方が多く、両端ほど出方が少ないという形が、2個のサイコロにおける確率分布の大切な特徴です。

全体の組合せと基本の考え方

1個目のサイコロには1から6までの6通りの出目があります。

2個目のサイコロにも同じく6通りの出目があるため、全体の組合せは6かける6で36通りです。

ここで重要なのは、1個目が2で2個目が5の場合と、1個目が5で2個目が2の場合を別の結果として扱う点でしょう。

サイコロの見た目が同じであっても、問題では赤いサイコロと白いサイコロのように区別できるものとして考えます。

この扱いをすることで、すべての結果を同じ確からしさで並べられます。

確率は、条件に当てはまる結果の数を、全体の結果の数で割って求めるのが基本です。

和ごとの確率分布

2個のサイコロの和は、最小で2、最大で12になります。

ただし、2から12までが同じ確率で出るわけではありません。

たとえば和が2になるのは、1と1の組合せだけです。

和が7になる組合せには、1と6、2と5、3と4、4と3、5と2、6と1があります。

そのため、和が7はもっとも起こりやすい結果になります。

和	該当する組合せの数	確率
2	1通り	36分の1
3	2通り	18分の1
4	3通り	12分の1
5	4通り	9分の1
6	5通り	36分の5
7	6通り	6分の1
8	5通り	36分の5
9	4通り	9分の1
10	3通り	12分の1
11	2通り	18分の1
12	1通り	36分の1

問題で最初に確認する項目

問題文を読んだら、最初にサイコロの個数と面の数を確認します。

一般的なサイコロは6面ですが、問題によっては4面、8面、10面のサイコロが登場する場合もあります。

次に、何を求めるのかを丁寧に読み取ります。

和を求めるのか、積を求めるのか、偶数が出る確率を求めるのかで、数えるべき組合せは変わります。

さらに、特定の条件が付いていないかも見逃せません。

たとえば少なくとも一方が6、和が8以上、出目が異なるといった表現は、場合の数を大きく左右します。

場合の数を数える順序の区別

続いては、サイコロの確率問題で欠かせない順序の区別を確認していきます。

確率分布でつまずく原因の多くは、同じ数字の組合せをどこまで別に数えるかという点にあります。

順序を区別する組合せ

2個のサイコロを同時に振る場合、一般的にはそれぞれのサイコロを区別して考えます。

1個目が1、2個目が6の結果と、1個目が6、2個目が1の結果は異なります。

和だけに注目するとどちらも7ですが、起きた結果そのものは別です。

この考え方は、表を作るときにも役立ちます。

縦軸を1個目の出目、横軸を2個目の出目にすると、36個のマスを漏れなく作れるでしょう。

和が同じでも、出目の順序が異なれば別のマスになると覚えておくと安心です。

順序を区別しない数え方との違い

一方で、2個のサイコロに出た数字の組だけを見るなら、1と6、6と1を同じ組と考える場合があります。

しかし、そのまま確率計算の分母に使うことはできません。

1と1のように順序を入れ替えても変わらない組と、1と6のように2通りになる組では、起こりやすさが異なるためです。

順序を区別しない表現を使うときも、それぞれの組が何通り分に当たるかを補う必要があります。

初学者は、まず順序を区別した36通りの表で解くほうが間違いを減らせます。

具体例による数え上げ

和が5になる確率を考えてみましょう。

条件を満たす組合せは、1と4、2と3、3と2、4と1の4通りです。

したがって、確率は4を36で割った36分の4となり、約分すると9分の1です。

和が5という結果だけを見ると一つに見えますが、その中には4種類の出方があります。

このように、確率分布では結果の値と、その値を作る組合せの数を分けて考えることが大切です。

確率分布表の作成手順

続いては、サイコロ2個の確率分布表を自分で作る手順を確認していきます。

表を利用すると、頭の中だけで数えるよりも、重複や数え漏れを防ぎやすくなります。

縦横の表による全結果

まず、縦方向に1個目のサイコロの出目を1から6まで並べます。

横方向には2個目のサイコロの出目を同じように並べましょう。

交わるマスには、それぞれの出目の和を書き入れます。

左上のマスは1と1なので2です。

右下のマスは6と6なので12になります。

斜め方向に同じ和が並ぶ形になるため、分布の広がりを目で確認できるのが利点です。

1個目と2個目	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

度数と確率への変換

表の中に2がいくつあるかを数えると1個です。

3は2個、4は3個というように、和が7まで一つずつ増えます。

和が7を超えると、今度は一つずつ減少していきます。

この各値の出現回数を度数と呼びます。

度数を36で割れば、確率分布表が完成します。

度数の合計は必ず36になるため、最後に合計を確かめると計算ミスを発見しやすいでしょう。

確率の合計による検算

確率分布表を作ったら、すべての確率を足して1になるかを確認します。

和が2から12までの度数を足すと、1、2、3、4、5、6、5、4、3、2、1の合計です。

合計は36になるため、36分の36で1になります。

もし合計が1にならない場合は、組合せを重複して数えたか、一部を見落としている可能性があります。

検算は最後の短い作業ですが、正答率を安定させる重要な習慣です。

和と条件付き確率の基本問題

続いては、和に条件が付く確率分布の基本問題を確認していきます。

単に和を求める問題に慣れたら、以上、以下、少なくともといった表現にも対応していきましょう。

和が指定された確率

和が9になる確率を求める場合、該当する出目を列挙します。

3と6、4と5、5と4、6と3の4通りです。

したがって確率は36分の4であり、9分の1になります。

和が10なら、4と6、5と5、6と4の3通りです。

答えは36分の3で、12分の1となります。

数字が大きくなるほど確率も大きいとは限らない点に注意が必要です。

和が以上や以下となる確率

和が9以上となる確率では、和が9、10、11、12の結果をまとめて考えます。

それぞれの度数は4、3、2、1なので、合計は10通りです。

よって求める確率は36分の10となり、18分の5になります。

和が4以下の場合は、和が2、3、4の度数を足します。

1、2、3の合計は6通りなので、確率は36分の6、すなわち6分の1です。

条件に当てはまる和を一つずつ分けて度数を足すことが、複合条件を解く基本になります。

少なくとも一方が条件を満たす問題

少なくとも一方が6である確率を求める問題では、直接数える方法と余事象を使う方法があります。

直接数えるなら、1個目が6の6通りと、2個目が6の6通りを考えます。

ただし、6と6は両方に含まれるため、一度引く必要があります。

したがって、6たす6ひく1で11通りです。

確率は36分の11になります。

余事象を使うなら、どちらも6ではない確率を考える方法も便利です。

どちらも1から5の出目なので25通りあり、36通りから引けば11通りになります。

期待値と確率分布の読み取り

続いては、確率分布から読み取れる期待値や分布の特徴を確認していきます。

確率分布は、各結果の起こりやすさを示すだけではなく、平均的な値を考える基礎にもなります。

2個のサイコロの期待値

1個の公平な6面サイコロの期待値は、1から6までの平均である3.5です。

2個のサイコロの和の期待値は、3.5と3.5を足して7になります。

実際に確率分布表を見ると、7を中心として左右が対称になっています。

もっとも出やすい和も7であり、期待値と一致するのは自然な結果といえるでしょう。

ただし、期待値は毎回必ず出る値ではありません。

何度も試行したときの平均に近づく目安として理解することが大切です。

分布が山形になる理由

和が2になるには、1と1しかありません。

和が3なら、1と2、2と1の2通りに増えます。

中央に近づくほど、小さい出目と大きい出目の組合せ方が増えるため、度数が増加します。

和が7を過ぎると、使える数字の範囲が限られるため、組合せは減少します。

この結果、確率分布は中央が高く両端が低い山形になります。

和の値そのものではなく、その和を作れる組合せの多さが確率を決めています。

実験結果との比べ方

実際にサイコロを36回振ったとしても、各和の回数が理論上の度数とぴったり一致するとは限りません。

偶然の影響によって、和が7になる回数が多すぎたり少なすぎたりする場合もあります。

しかし、試行回数を増やすほど、実験で得られる割合は理論上の確率に近づく傾向があります。

100回、500回、1000回と回数を増やして記録すると、確率分布の考え方を実感しやすくなるでしょう。

学校の課題では、実験値と理論値の違いを比較し、その理由を考察する問題もよく出題されます。

サイコロ確率問題のよくある間違い

続いては、サイコロ2個の確率分布で起こりやすい間違いを確認していきます。

計算自体は難しくなくても、問題文の読み取りや場合分けの段階で失点することがあります。

和の種類を分母にする誤り

和は2から12までの11種類なので、和が7の確率を11分の1とする誤りがあります。

しかし、11種類の和は同じ確率で起こるわけではありません。

和が2は1通り、和が7は6通りなので、両者を同じ重みで扱うことはできません。

分母は和の種類の数ではなく、等しく起こり得る出目の組合せの数です。

2個の6面サイコロなら、基本の分母は36と覚えておきましょう。

重複を見落とす誤り

少なくとも一方が偶数の確率を求めるとき、1個目が偶数の18通りと2個目が偶数の18通りを足して36通りとするケースがあります。

この数え方では、両方が偶数の結果を二重に数えています。

両方が偶数の結果は3かける3で9通りです。

直接数えるなら18たす18ひく9で27通りになります。

余事象を使えば、両方とも奇数である9通りを36通りから引くため、同じく27通りです。

問題文の条件を取り違える誤り

以上とより大きい、以下と未満は意味が異なります。

和が8以上なら8を含みますが、和が8より大きいなら8は含みません。

また、少なくとも一方とちょうど一方も区別が必要です。

少なくとも一方が6には6と6が含まれます。

ちょうど一方が6では6と6を除き、もう片方が1から5となる10通りだけを数えます。

短い言葉ほど条件を変える力があるため、印を付けて読むとよいでしょう。

確率分布問題のまとめ

サイコロ2個の確率分布では、まず全体が36通りであることを押さえるのが出発点です。

和が2から12までのどれになるかを考える場合、各和を作る出目の組合せを数えます。

和が7は6通りで最も多く、和が2と12は各1通りで最も少ないという山形の分布になります。

確率は条件に合う場合の数を全体の場合の数で割るという原則を、毎回の計算で使いましょう。

順序を区別すること、重複を除くこと、条件の言葉を正確に読むことも重要です。

表を作成して度数を数えれば、複雑に見える問題でも整理しやすくなります。

確率分布の基本を身に付けると、カード、くじ、コイン、整数の問題にも応用できるでしょう。