数学の組み合わせ計算で「12C2」という表記を見たとき、どのように計算すればよいのでしょうか。
12個のものから2個を選ぶという状況は、確率や場合の数の問題で非常によく登場します。nC2型の組み合わせには便利な計算公式があり、さらに対称性を利用すれば12C10としても計算できるという性質があるのです。
本記事では12C2の計算方法から答え、そしてなぜ12C10と同じ値になるのかという理由まで、丁寧に解説していきます。nC2の便利な公式や効率的な計算方法、覚え方のコツもお伝えしますので、数学に苦手意識がある方でも安心して読み進めてください。
12C2の答えは66【結論と計算方法】
それではまず12C2の答えと計算方法について解説していきます。
12C2の答えは66になる
12個のものから2個を選ぶ組み合わせの数は66通りということになります。この答えは組み合わせの公式を使って導き出せますが、nC2には便利な計算公式があるため、より簡単に計算できるのです。
また対称性を利用すれば、12C2=12C10という関係も成り立ちます。後ほど詳しく説明しますが、この性質を知っていると計算の検算にも役立つでしょう。
組み合わせの公式を使った計算
組み合わせnCrの基本公式を使って計算してみましょう。
この公式に12C2を当てはめます。
= 12! / (2! × 10!)
= (12 × 11 × 10!) / (2 × 1 × 10!)
= (12 × 11) / (2 × 1)
= 132 / 2
= 66
10!が分子と分母で約分されるため、実際には12×11を2で割るだけの計算になります。大きな階乗を計算する必要はないのです。
nC2の便利な公式
nC2型の組み合わせには、覚えておくと便利な公式があります。
この公式を使えば、さらに簡単に計算できます。
= 12 × 11 / 2
= 132 / 2
= 66
「n個から2個選ぶ組み合わせは、n×(n-1)÷2」と覚えておけば、公式を展開せずとも瞬時に計算できます。この公式はnC2を計算する際の定番なので、必ず覚えておきましょう。
12C2=12C10となる理由【対称性の解説】
続いては12C2と12C10が同じ値になる理由を確認していきます。
選ぶことと選ばないことの対称性
組み合わせには重要な対称性があります。
この性質により、12C2=12C(12-2)=12C10が成立するのです。
12個のものから2個を選ぶという行為は、見方を変えれば12個のものから10個を選ばない(残す)という行為と完全に同じです。
例えば12枚のカードから2枚選ぶとき、選んだ2枚が決まれば、残った10枚も自動的に決まります。逆に、残す10枚を先に決めれば、選ぶ2枚も自動的に決まるでしょう。つまり「2枚選ぶ方法の数」と「10枚残す方法の数」は完全に一致するのです。
具体例で理解する対称性
小さな数字で具体的に考えてみましょう。
選ぶ2個 → 残る2個
AB → CD
AC → BD
AD → BC
BC → AD
BD → AC
CD → AB
6通りの選び方があり、4C2 = 4C2 = 6
このように、選ぶ組み合わせと残る組み合わせは一対一に対応しています。
| 計算 | 意味 | 答え |
|---|---|---|
| 5C2 | 5個から2個選ぶ | 10 |
| 5C3 | 5個から3個残す | 10 |
| 10C2 | 10個から2個選ぶ | 45 |
| 10C8 | 10個から8個残す | 45 |
| 12C2 | 12個から2個選ぶ | 66 |
| 12C10 | 12個から10個残す | 66 |
どの場合でも対称性が成り立っていることが分かります。
数式で証明する対称性
対称性を数式で証明してみましょう。
= (12 × 11) / 2
= 66
12C10 = 12! / (10! × 2!)
= (12 × 11) / 2
= 66
よって 12C2 = 12C10
分母の2!と10!の順序が入れ替わっているだけで、掛け算なので結果は同じになります。この証明により、どんなnとrについても対称性が成り立つことが分かるでしょう。
組み合わせ計算のコツと覚え方
続いては組み合わせの計算を効率的に行うコツを確認していきます。
nC2=n(n-1)/2を暗記する
nC2型の組み合わせでは、この公式を覚えておくと非常に便利です。
8C2 = 8 × 7 / 2 = 56 / 2 = 28
15C2 = 15 × 14 / 2 = 210 / 2 = 105
20C2 = 20 × 19 / 2 = 380 / 2 = 190
この公式を使えば、階乗を展開せずとも素早く計算できます。2個選ぶ組み合わせは頻出なので、この公式は必ず覚えておきましょう。
小さい方の数で計算する鉄則
組み合わせを計算する際の最も重要なコツは、rとn-rのうち小さい方を使うことです。
直接計算すると複雑
→ 12C10 = 12C2 = 66として計算
このように小さい方を使えば簡単
常に対称性を意識して、計算量が少ない方を選択する習慣をつけましょう。これにより計算ミスも減り、時間も短縮されます。
階乗を約分しながら計算する
階乗を展開してから約分するのではなく、最初から約分しながら進めると効率的です。
10!が分子分母にあるので約分
12C2 = (12 × 11) / (2 × 1)
さらに12と2で約分可能
12C2 = (6 × 11) / 1 = 66
このように、共通する部分は最初から消してしまうと計算が楽になります。大きな数を計算してから割るより、段階的に約分した方がミスも少なくなるでしょう。
12C2を含む実践問題
続いては12C2が実際にどのような場面で使われるのかを確認していきます。
握手問題での応用
12C2は「握手問題」と呼ばれる定番の問題でよく使われます。
握手は全部で何回行われますか?
解答:12C2 = 66回
理由:
12人から2人を選ぶ組み合わせが握手のペアになる
したがって握手の回数 = 12C2 = 66回
この問題は、2人1組のペアを作るという状況を組み合わせで表現しています。握手は必ず2人で行うため、12C2という計算が自然に導かれるのです。
試合の組み合わせ問題
スポーツの試合数を求める問題でも使われます。
解答:12C2 = 66試合
理由:
12チームから2チームを選ぶ組み合わせが対戦カードになる
したがって試合数 = 12C2 = 66試合
握手問題と同じ構造の問題です。「2つを選ぶ」という状況は、実生活の様々な場面で登場するため、nC2の計算は非常に実用的なのです。
確率問題での活用
確率の計算でも12C2が登場します。
この中から2枚を同時に引くとき、引き方は何通りありますか?
解答:12C2 = 66通り
問題:上記の中から2枚引いたとき、両方とも偶数である確率は?
解答:
偶数は6個(2,4,6,8,10,12)
偶数から2枚選ぶ組み合わせ = 6C2 = 15通り
全体の組み合わせ = 12C2 = 66通り
確率 = 15/66 = 5/22
このように、全体の場合の数や特定の条件を満たす場合の数を求める際に、nC2の計算が活用されます。
まとめ
12C2の計算方法と答えについて詳しく解説してきました。
12C2の答えは66であり、これは組み合わせの公式nCr=n!/(r!×(n-r)!)を使っても、便利な公式nC2=n(n-1)/2を使っても導き出せます。後者の公式を覚えておけば、より素早く計算できるでしょう。
12C2=12C10となる理由は、組み合わせの対称性nCr=nC(n-r)によるものでした。「12個から2個を選ぶこと」と「12個から10個を残すこと」は表裏一体の関係にあり、場合の数は完全に一致するのです。
nC2=n(n-1)/2という公式は非常に実用的で、握手問題や試合数の計算など、実生活に関連する様々な場面で活用されます。この公式と対称性の性質を理解しておけば、組み合わせの問題を効率的に解けるようになるはずです。
12C2のような基本的な組み合わせをしっかり理解することで、より複雑な確率や場合の数の問題にも対応できる土台が築かれます。計算のコツを身につけながら、組み合わせの美しさと実用性を感じていただければ幸いです。
