理想的な自由落下では空気抵抗を無視しますが、実際の落下運動では空気抵抗が重要な役割を果たします。パラシュートが安全に機能するのも、雨粒が地面に激突しないのも、すべて空気抵抗のおかげです。
本記事では、自由落下と空気抵抗の関係を詳しく解説し、空気抵抗がある場合の運動の特徴や終端速度について説明していきます。微分方程式を用いた厳密な取り扱いから、実用的な計算方法まで幅広くご紹介します。
それでは、空気抵抗を含む落下運動について順を追って見ていきましょう。
空気抵抗とは何か
それではまず空気抵抗とは何かについて解説していきます。
空気抵抗の基本的な性質
空気抵抗とは、物体が空気中を運動するときに受ける抵抗力のことです。この力は物体の運動を妨げる方向、つまり速度と逆向きに働きます。
空気抵抗の大きさは、物体の速度、形状、表面積、そして空気の密度によって変化します。一般的に、速度が大きいほど空気抵抗も大きくなるでしょう。また、同じ速度でも、表面積が大きい物体ほど大きな空気抵抗を受けます。
日常生活では、手を車の窓から出したときに感じる風圧や、自転車で速く走ったときの抵抗感などが空気抵抗の例です。これらはすべて、空気との相互作用によって生じる力なのです。
空気抵抗の数式表現
空気抵抗の大きさFは、速度vに依存します。低速域では空気抵抗は速度に比例し（F = kv）、高速域では速度の2乗に比例します（F = kv²）。
【空気抵抗の式】
・低速の場合：F = kv（k：抵抗係数）
・高速の場合：F = (1/2)ρCDAv²
（ρ：空気密度、CD：抗力係数、A：断面積、v：速度）
高校物理では簡単のため、空気抵抗が速度に比例する場合を扱うことが多いでしょう。この近似は、比較的遅い速度で運動する小さな物体に対して適用できます。
自由落下との違い
理想的な自由落下では空気抵抗を無視するため、物体は重力加速度gで永遠に加速し続けます。しかし、実際の落下では空気抵抗が働くため、運動の様子は大きく異なります。
空気抵抗がある場合、落下開始直後は空気抵抗が小さいため、ほぼ自由落下と同じように加速します。しかし速度が増すにつれて空気抵抗も増大し、やがて重力とつりあって加速が止まるのです。
| 項目 | 空気抵抗なし（理想的自由落下） | 空気抵抗あり（実際の落下） |
|---|---|---|
| 加速度 | 常にg（一定） | 時間とともに減少 |
| 最大速度 | 無限大 | 終端速度（有限） |
| 運動方程式 | mg = ma | mg – kv = ma |
空気抵抗がある場合の運動方程式
続いては空気抵抗がある場合の運動方程式を確認していきます。
運動方程式の立て方
空気抵抗がある場合の運動方程式は、重力と空気抵抗の両方を考慮して立てます。質量mの物体が速度vで落下しているとき、運動方程式は ma = mg – kvとなります。
ここで、mgは下向きの重力、kvは上向きの空気抵抗力です。加速度a = dv/dtを用いると、この式は微分方程式となります。
【空気抵抗を含む運動方程式】
m(dv/dt) = mg – kv
整理すると：dv/dt = g – (k/m)v
この微分方程式を解くことで、時間とともに速度がどのように変化するかを求められるでしょう。
微分方程式の解法
上記の微分方程式は変数分離法で解くことができます。dv/(g – (k/m)v) = dt として両辺を積分すると、速度vの時間変化が得られます。
初期条件v(0) = 0（静止状態から落下開始）として解くと、次のような解が得られます。
【速度の時間変化】
v(t) = (mg/k)(1 – e^(-kt/m))
または v(t) = v∞(1 – e^(-t/τ))
（v∞：終端速度、τ = m/k：時定数）
この式から、時間が十分経過すると速度がv∞に近づいていくことがわかります。これが終端速度と呼ばれる状態です。
加速度の変化
空気抵抗がある場合、加速度は一定ではなく時間とともに変化します。運動方程式から加速度a = g – (k/m)vであり、速度が増加するにつれて加速度は減少していきます。
落下開始直後（v ≒ 0）では加速度はほぼgですが、時間が経つにつれて空気抵抗の項が大きくなり、加速度は徐々に小さくなっていくでしょう。終端速度に達すると加速度はゼロになります。
加速度がゼロということは、力がつりあって等速直線運動をしている状態です。これが終端速度での運動の特徴になります。
終端速度とは
続いては終端速度について確認していきます。
終端速度の定義と意味
終端速度とは、落下する物体が到達する最大の速度のことです。この速度に達すると、重力と空気抵抗がつりあい、それ以上加速しなくなります。
終端速度では mg = kv∞ が成り立ちます。この式から終端速度を求めると v∞ = mg/k となるでしょう。つまり、終端速度は質量mに比例し、抵抗係数kに反比例するのです。
重い物体ほど、また抵抗を受けにくい形状の物体ほど、終端速度は大きくなります。これは直感的にも理解できる結果と言えるでしょう。
終端速度の計算方法
終端速度を計算するには、力のつりあいの式を使います。重力mgと空気抵抗kvがつりあう条件から、終端速度を求められます。
【終端速度の計算例】
質量0.5kgの球が、抵抗係数k = 0.5 N·s/mの空気中を落下する場合
v∞ = mg/k = (0.5 × 10)/0.5 = 10 m/s
高速域で空気抵抗が速度の2乗に比例する場合（F = kv²）、終端速度は v∞ = √(mg/k) となります。この場合も同様に、力のつりあい mg = kv∞² から導出できます。
身近な物体の終端速度
日常的な物体の終端速度は、その形状や質量によって大きく異なります。代表的な例を見てみましょう。
| 物体 | 終端速度（概算） |
|---|---|
| 雨粒（直径1mm） | 約4 m/s |
| 雨粒（直径5mm） | 約9 m/s |
| スカイダイバー（腹這い姿勢） | 約55 m/s |
| スカイダイバー（頭から） | 約90 m/s |
| パラシュート展開後 | 約5 m/s |
雨粒の終端速度が比較的小さいため、雨が地面に激しく衝突しないのです。もし空気抵抗がなければ、高い雲から落ちる雨粒は数百m/sに達し、非常に危険でしょう。
速度の変化と時間発展
続いては速度の変化と時間発展を確認していきます。
速度の時間変化グラフ
空気抵抗がある場合の速度-時間グラフは、指数関数的に終端速度に漸近する曲線となります。グラフは最初急激に上昇し、徐々に傾きが緩やかになって終端速度に近づいていきます。
時定数τ = m/kは、この変化の速さを表す重要なパラメータです。時間がτ経過すると、速度は終端速度の約63%に達します。3τ経過すると約95%、5τ経過するとほぼ終端速度に達するでしょう。
対照的に、空気抵抗がない理想的な自由落下では、速度-時間グラフは原点を通る直線（v = gt）となります。
実測データとの比較
実際の落下実験を行うと、理論予測と実測値がよく一致することが確認できます。ただし、物体の形状が複雑な場合や、速度が大きい場合は、簡単な空気抵抗モデルでは精度が低下します。
より正確な予測のためには、空気抵抗係数を実験的に決定する必要があるでしょう。風洞実験などで抗力係数CDを測定し、それを用いて計算することで、実際の運動をより正確に記述できます。
航空機や自動車の設計では、空気抵抗を最小化するために綿密な流体力学的解析が行われています。
終端速度到達までの時間
厳密には終端速度に完全に到達することはありませんが、実用上は数倍の時定数τが経過すれば終端速度に達したと見なせます。
例えば質量1kg、抵抗係数k = 0.2 N·s/mの物体では、時定数τ = m/k = 5秒となります。15秒程度経過すれば、ほぼ終端速度に達すると考えられるでしょう。
この時間は物体の質量と抵抗係数の比で決まるため、同じ形状でも重い物体ほど終端速度到達までに時間がかかります。
まとめ
自由落下に空気抵抗が加わると、運動の様子は大きく変わります。空気抵抗は速度に依存する力であり、低速では速度に比例（F = kv）、高速では速度の2乗に比例（F = kv²）します。
空気抵抗を含む運動方程式 m(dv/dt) = mg – kv を解くと、速度は指数関数的に終端速度v∞ = mg/kに近づいていくことがわかります。終端速度では重力と空気抵抗がつりあい、加速度がゼロとなって等速運動に移行します。
雨粒やスカイダイバーなど、身近な落下現象の多くは終端速度の影響を受けています。空気抵抗の理解は、パラシュートの設計や気象現象の解明など、様々な分野で重要な役割を果たしているのです。
