鉛直投げ上げの公式は？導き方や覚え方も！（3つの公式：等加速度運動：高校物理：−g（マイナスg）の意味など）

高校物理で学ぶ鉛直投げ上げは、多くの受験生が苦手とする分野の一つでしょう。公式が複数あって、どれをいつ使えばいいのか混乱してしまう経験はありませんか？

鉛直投げ上げの問題を解く際に重要なのは、3つの基本公式を正しく理解し、使い分けることです。これらの公式は等加速度運動の公式を基礎としており、重力加速度を−g（マイナスg）として扱う点が特徴的ですね。

本記事では、鉛直投げ上げの3つの公式について、その導き方から覚え方まで丁寧に解説していきます。なぜマイナスの符号がつくのか、どの公式をどんな場面で使うべきなのか、具体例を交えながら確認していきましょう。

公式の暗記だけでなく、その背景にある物理的な意味を理解することで、応用問題にも対応できる力が身につきます。物理が苦手な方も、この記事を読めば鉛直投げ上げの問題がぐっと解きやすくなるはずです。

鉛直投げ上げの公式は3つの等加速度運動の式から導かれる

それではまず、鉛直投げ上げの基本となる公式について解説していきます。

鉛直投げ上げとは、物体を鉛直上向きに初速度v₀で投げ上げる運動のことを指します。この運動は等加速度運動の一種であり、加速度が一定の−g（重力加速度の負の値）となる点が特徴的でしょう。

鉛直投げ上げで使う公式は、基本的に次の3つになります。

これらの公式は、等加速度運動の一般式において加速度aを−gに置き換えたものです。上向きを正の方向として座標軸を設定すると、重力による加速度は下向きなので負の符号がつくわけですね。

ここで重要なのは、−g（マイナスg）の意味をしっかり理解することでしょう。gは重力加速度の大きさ（約9.8m/s²）を表し、常に正の値です。一方、鉛直投げ上げでは上向きを正とするため、下向きに働く重力加速度は−gと表現されます。

この符号の扱いを間違えると、計算結果が全く異なってしまうので注意が必要です。物理の問題では座標系の設定が非常に重要なのです。

鉛直投げ上げの公式の導き方を詳しく確認しよう

続いては、3つの公式がどのように導かれるのか確認していきます。

速度の公式v = v₀ − gtの導出方法

等加速度運動の基本式は v = v₀ + at です。この式において、加速度aを−g（重力加速度の負の値）に置き換えると、鉛直投げ上げの速度の公式が得られるでしょう。

この公式から分かることは、時間が経過するほど速度vは減少していくという点です。投げ上げた直後は初速度v₀で上昇していきますが、重力の影響で徐々に減速し、最高点では速度が0になります。

さらに時間が経過すると、速度vは負の値になるでしょう。これは物体が下向きに運動していることを意味します。速度の符号が正負どちらになるかで、物体が上昇中か下降中かを判断できるのです。

変位の公式y = v₀t − (1/2)gt²の導出過程

次に、変位の公式を導いていきましょう。等加速度運動における変位の一般式は x = v₀t + (1/2)at² です。

この公式は、投げ上げ地点からの高さyを時刻tの関数として表したものです。v₀tの項は等速度運動による上昇分を表し、−(1/2)gt²の項は重力による落下分を表現しています。

グラフで表すと下に凸の放物線になるでしょう。時刻t = 0で y = 0（投げ上げ地点）からスタートし、最高点に達した後、再び下降していく様子が読み取れます。

速度と変位の関係式v² − v₀² = −2gyの導き方

3つ目の公式は、時間tを含まない速度と変位の関係式になります。等加速度運動の一般式 v² − v₀² = 2ax を利用しましょう。

この公式は、時間が分からないときや時間を消去したいときに特に有効です。例えば、最高点の高さを求める問題では、最高点で v = 0 という条件を使うことで簡単に計算できるでしょう。

また、ある高さでの速度を求めたい場合にも、この公式を使えば直接計算できます。時間経過を考える必要がないため、計算が効率的になるのです。

鉛直投げ上げの公式の使い分けと覚え方のコツ

続いては、3つの公式をどう使い分けるか、そして効果的な覚え方を確認していきます。

各公式の使い分けポイントと適用場面

3つの公式にはそれぞれ得意な場面があります。問題文で何が与えられ、何を求めるかによって、最適な公式を選択することが重要でしょう。

公式	含まれる変数	適用場面
v = v₀ − gt	速度、初速度、時間	ある時刻での速度を求める 速度が0になる時刻（最高点到達時間）を求める
y = v₀t − (1/2)gt²	変位、初速度、時間	ある時刻での高さを求める 地面に戻る時刻を求める
v² − v₀² = −2gy	速度、初速度、変位	最高点の高さを求める ある高さでの速度を求める（時間不明）

例えば、「初速度20m/sで投げ上げたとき、2秒後の速度は？」という問題なら、時間と速度が関係する①の公式を使います。一方、「最高点の高さは？」なら、最高点でv = 0となることを利用して③の公式が最適でしょう。

問題を解く際は、まず「何が分かっていて、何を求めるのか」を整理することが大切です。そうすれば、どの公式を使うべきか自然に見えてくるはずですね。

公式を効率的に覚えるための語呂合わせと理解法

公式を丸暗記するよりも、等加速度運動の一般式から導けるようにしておくことをお勧めします。そうすれば、万が一公式を忘れてもその場で導出できるからです。

覚え方のコツとしては、次のようなポイントを押さえておくとよいでしょう。

また、実際の運動をイメージすることも重要です。ボールを投げ上げると、上昇中は速度が減少し、最高点で一瞬止まり、その後下降するという流れを頭に描いてみましょう。

このイメージと公式を結びつけることで、単なる記号の羅列ではなく、物理現象を表す式として理解できるようになります。理解を伴った記憶は忘れにくいものですね。

−g（マイナスg）の意味と符号の扱い方

多くの学習者が混乱するのが、−g（マイナスg）の符号の扱いでしょう。これは座標系の設定と密接に関係しています。

鉛直投げ上げでは、通常「上向きを正の方向」として座標軸を設定します。この座標系において、重力は下向きに働くため、加速度は負の値になるのです。

計算する際は、gには9.8という数値だけを代入し、負の符号は式の中に残しておくことが大切です。例えば v = v₀ − gt において、v₀ = 20m/s、t = 2s なら、v = 20 − 9.8×2 = 20 − 19.6 = 0.4m/s と計算するわけですね。

間違っても v = 20 + 9.8×2 などとしないよう注意しましょう。符号の扱いは物理の基本中の基本であり、ここを正確に理解することが他の分野の学習にも役立ちます。

鉛直投げ上げの具体例と応用問題の解き方

続いては、実際の問題を通して公式の使い方を確認していきます。

最高点の高さと到達時間を求める標準問題

最も基本的な問題として、「初速度v₀で投げ上げたとき、最高点の高さと到達時間を求めよ」というタイプがあります。この問題は、最高点で速度が0になるという条件を使うのがポイントでしょう。

この問題では、時間を求めるには①の公式、高さを求めるには③の公式が適していますね。もちろん、②の公式に t = 3 を代入して高さを求めることも可能です。

複数の解法があることを知っておくと、計算ミスをしたときに別の方法で確認できるため便利でしょう。

往復の時間と地面に戻るときの速度の計算

投げ上げた物体が再び投げ上げ地点に戻ってくる問題も頻出です。この場合、変位y = 0という条件を使います。

速度が−20m/sと負の値になっているのは、下向きに運動していることを示しています。大きさは初速度と同じ20m/sですが、向きが逆になっているわけですね。

これは「投げ上げと投げ下ろしの対称性」と呼ばれる重要な性質です。空気抵抗を無視すれば、上昇と下降は時間的に対称な運動になるのです。

途中の高さでの速度や時刻を求める応用問題

より発展的な問題として、「ある高さを通過する際の速度や時刻」を求める問題があります。この場合、場合によっては2つの解が存在することに注意が必要でしょう。

速度が±15m/sの2つの値を持つのは、物体が高さ20mを2回通過するからです。1回目は上昇中（v = +15m/s）、2回目は下降中（v = −15m/s）という違いがありますね。

同様に、時刻も t = 1秒（上昇中）と t = 4秒（下降中）の2つの解があります。問題によっては「上昇中の速度のみ答えよ」などと指定されることもあるので、問題文をよく読むことが大切でしょう。

まとめ

鉛直投げ上げの公式は、等加速度運動の一般式において加速度を−gに置き換えることで導かれます。基本となる3つの公式、v = v₀ − gt、y = v₀t − (1/2)gt²、v² − v₀² = −2gy は、それぞれ異なる場面で活用されるものです。

公式を使いこなすためには、−gの符号の意味を正確に理解することが不可欠でしょう。上向きを正とする座標系では、下向きに働く重力加速度は負の値として表現されます。速度の符号によって上昇中か下降中かを判断できることも重要なポイントですね。

問題を解く際は、与えられた条件と求めるべき量を整理し、最適な公式を選択することが大切です。最高点では速度が0になる、投げ上げ地点に戻ったときは変位が0になる、といった条件を活用することで、効率的に解答を導けるでしょう。

鉛直投げ上げは、物理の基礎となる重要な単元です。公式の丸暗記ではなく、その導出過程や物理的意味を理解することで、応用問題にも対応できる真の実力が身につきます。本記事で学んだ内容を、ぜひ問題演習を通じて定着させていってください。