三角形や四角形の面積公式は学校でよく習いますが、五角形になると少し複雑に感じるかもしれません。
実は、五角形の面積を求める方法はいくつかあり、図形の種類や与えられた情報によって最適な方法が異なります。
正五角形のように規則的な図形には専用の公式がありますし、不規則な五角形でも三角形に分割する方法を使えば確実に面積を求められるのです。
本記事では、正五角形の面積公式から、不等辺五角形の計算方法、座標を使ったアプローチまで、様々な五角形の面積の求め方を詳しく解説していきます。
辺の長さや頂点座標など、与えられた条件に応じた計算方法を理解しましょう。
五角形の面積計算をマスターすることで、より複雑な図形問題にも対応できる力が身につきます。
五角形の面積の基本的な求め方
それではまず、五角形の面積を求める基本的な方法について解説していきます。
五角形の面積計算には、三角形分割法という最も汎用性の高い方法があります。
どんな五角形でも、この方法を使えば確実に面積を求められるのです。
三角形分割法の基本
三角形分割法とは、五角形を複数の三角形に分けて、それぞれの面積を足し合わせる方法です。
五角形の1つの頂点から、隣り合わない他の頂点すべてに対角線を引くと、五角形は3つの三角形に分割されます。
各三角形の面積を個別に求めて合計すれば、五角形全体の面積が得られるでしょう。
【三角形分割の手順】
ステップ1：五角形の1つの頂点を選ぶ
ステップ2：その頂点から対角線を2本引き、3つの三角形を作る
ステップ3：各三角形の面積を求める
ステップ4：3つの面積を足し合わせる
三角形の面積は、底辺×高さ÷2で求められます。
したがって、各三角形の底辺と高さが分かれば、五角形の面積も計算できるのです。
なぜ三角形に分割するのか
なぜわざわざ三角形に分割する必要があるのでしょうか。
それは、三角形の面積公式が最も基本的で使いやすいからです。
四角形や五角形には様々な形がありますが、三角形は3つの頂点で必ず平面図形が確定します。
そのため、三角形の面積公式は非常にシンプルで汎用性が高いのです。
五角形を三角形に分割することで、複雑な図形をシンプルな図形の組み合わせとして扱えます。
これは数学における「複雑な問題を単純な問題に帰着させる」という重要な考え方でしょう。
具体的な計算例
実際に数値を使って、三角形分割法で五角形の面積を求めてみましょう。
ある五角形ABCDEを、頂点Aから対角線AC、ADを引いて3つの三角形に分けます。
三角形ABCの底辺BC=6cm、高さ=4cm
三角形ACDの底辺CD=5cm、高さ=3cm
三角形ADEの底辺DE=4cm、高さ=5cm
【計算過程】
三角形ABCの面積：6×4÷2=12cm²
三角形ACDの面積：5×3÷2=7.5cm²
三角形ADEの面積：4×5÷2=10cm²
五角形ABCDEの面積：12+7.5+10=29.5cm²
このように、各三角形の面積を求めて合計することで、五角形全体の面積が得られます。
正五角形の面積の公式と計算方法
続いては、正五角形の面積を求める専用の公式を確認していきます。
正五角形は対称性が高い図形なので、一般的な五角形よりも簡単に面積を求められます。
辺の長さが分かれば、公式を使って直接計算できるのです。
正五角形の面積公式
正五角形の面積を求める公式は、辺の長さをaとすると次のようになります。
正五角形の面積＝(√(25+10√5)/4)×a²
または約1.720×a²
この公式は複雑に見えますが、辺の長さが分かれば機械的に計算できます。
√(25+10√5)/4≒1.720477という係数を覚えておくと便利でしょう。
たとえば、1辺が6cmの正五角形の面積は次のように求められます。
【計算例】
a=6cmのとき
面積≒1.720×6²=1.720×36≒61.92cm²
より正確に計算したい場合は、電卓やコンピュータを使って√(25+10√5)の値を求めると良いでしょう。
公式の導出方法
この公式がどこから来るのか、簡単に説明しましょう。
正五角形を中心から5つの頂点に線を引くと、5つの合同な二等辺三角形に分割できます。
中心角は360度÷5=72度です。
各二等辺三角形の面積を求めて5倍すれば、正五角形の面積になります。
二等辺三角形の面積は、2辺の長さをrとして、r²×sin(72度)÷2で求められるのです。
辺の長さaと半径rの関係式を使って計算すると、最終的に先ほどの公式が導かれます。
アポセムを使った計算
正五角形の面積は、アポセムを使っても求められます。
アポセムとは、正多角形の中心から各辺への垂直距離のことです。
正五角形の面積は、周の長さ×アポセム÷2で計算できます。
1辺の長さがaの正五角形の場合、周の長さは5a、アポセムは約0.688aです。
【アポセムを使った計算】
周の長さ：5a
アポセム：約0.688a
面積：5a×0.688a÷2≒1.720a²
この方法でも、同じ結果が得られることが分かるでしょう。
不規則な五角形の面積の求め方
続いては、不規則な五角形(不等辺五角形)の面積の求め方を確認していきます。
辺の長さや角度がバラバラな五角形でも、適切な方法を使えば面積を求められます。
座標を使った面積計算
五角形の各頂点の座標が分かっている場合、靴紐公式(Shoelace formula)を使うと便利です。
この公式は、多角形の頂点座標から直接面積を計算できる優れた方法でしょう。
頂点をA(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)、D(x₄,y₄)、E(x₅,y₅)とすると、面積Sは次の式で求められます。
S = 1/2 × |x₁(y₂−y₅) + x₂(y₃−y₁) + x₃(y₄−y₂) + x₄(y₅−y₃) + x₅(y₁−y₄)|
または、次のような形でも表現できます。
S = 1/2 × |(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₅ + x₅y₁) − (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₄ + y₄x₅ + y₅x₁)|
具体例として、頂点が(0,0)、(4,0)、(5,3)、(2,5)、(−1,2)の五角形を考えてみましょう。
【座標計算の例】
A(0,0)、B(4,0)、C(5,3)、D(2,5)、E(−1,2)
第1項：0×0 + 4×3 + 5×5 + 2×2 + (−1)×0 = 0+12+25+4+0 = 41
第2項：0×4 + 0×5 + 3×2 + 5×(−1) + 2×0 = 0+0+6−5+0 = 1
面積：1/2 × |41−1| = 1/2 × 40 = 20
この方法は、座標が与えられている問題で非常に効率的でしょう。
三角形分割による詳細計算
座標が分からない場合でも、三角形分割法を丁寧に適用すれば面積を求められます。
ポイントは、各三角形の底辺と高さを正確に測定または計算することです。
実際の図形が与えられている場合、定規で長さを測り、分度器で角度を測って計算します。
問題として数値が与えられている場合は、三角法を使って必要な長さを求めるのです。
| 三角形 | 底辺(cm) | 高さ(cm) | 面積(cm²) |
|---|---|---|---|
| △1 | 8 | 5 | 20 |
| △2 | 6 | 4 | 12 |
| △3 | 7 | 3 | 10.5 |
| 五角形の合計面積 | 42.5 | ||
このように、表を作って整理すると計算ミスを防げるでしょう。
ヘロンの公式を使った方法
三角形の3辺の長さが分かっている場合、ヘロンの公式を使って面積を求められます。
3辺をa、b、cとし、s=(a+b+c)/2とすると、三角形の面積は√(s(s−a)(s−b)(s−c))となるのです。
五角形を3つの三角形に分割した際、各三角形の3辺の長さが分かれば、ヘロンの公式で個別に面積を求めて合計できます。
【ヘロンの公式の例】
3辺が5cm、6cm、7cmの三角形
s = (5+6+7)/2 = 9
面積 = √(9×(9−5)×(9−6)×(9−7)) = √(9×4×3×2) = √216 ≒ 14.7cm²
この方法は、辺の長さの情報が多い場合に有効でしょう。
五角形の面積計算の応用と実例
続いては、五角形の面積計算の応用例と実際の問題を確認していきます。
理論だけでなく、実践的な問題に取り組むことで理解が深まります。
複合図形の面積計算
五角形が他の図形と組み合わさった複合図形では、工夫が必要です。
例えば、長方形の一部が欠けて五角形になっている場合を考えてみましょう。
このような場合、全体から欠けた部分を引くという発想が有効です。
8cm×6cmの長方形の右上に3cm×2cmの長方形が欠けて五角形になっている場合、次のように計算します。
【複合図形の例】
元の長方形の面積：8×6=48cm²
欠けた部分の面積：3×2=6cm²
五角形の面積：48−6=42cm²
引き算を使う方法は、三角形分割よりも簡単な場合が多いでしょう。
格子点を使った面積計算
方眼紙上の五角形の面積は、ピックの定理を使っても求められます。
ピックの定理は、内部の格子点の数をI、境界上の格子点の数をBとすると、面積S=I+B/2−1で求められるというものです。
例えば、内部に6個、境界上に8個の格子点がある五角形の場合、次のようになります。
【ピックの定理の例】
内部の格子点：I=6
境界上の格子点：B=8
面積：S=6+8/2−1=6+4−1=9
この方法は、方眼紙上の図形問題で非常に便利でしょう。
実生活での五角形の面積
五角形の面積計算は、実際の場面でも役立ちます。
建築では、五角形の土地や部屋の面積を求める必要がある場合があるのです。
測量士は、不規則な形の土地を測定する際、座標測定器を使って各頂点の位置を記録し、靴紐公式で面積を計算します。
また、ペンタゴン(米国防総省)のような五角形の建物では、各フロアの面積を正確に把握することが重要です。
1辺が約280メートルの正五角形なら、面積は約1.720×280²≒134,848平方メートルとなります。
このように、理論と実践が結びついているのが数学の面白さでしょう。
まとめ
五角形の面積を求める最も基本的な方法は、三角形分割法です。
五角形を3つの三角形に分け、各三角形の面積を底辺×高さ÷2で求めて合計します。
正五角形の場合は、専用の公式(約1.720×a²)を使うことで、辺の長さから直接面積を計算できるのです。
不規則な五角形では、頂点座標が分かっていれば靴紐公式が非常に便利でしょう。
S = 1/2 × |(x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₄ + x₄y₅ + x₅y₁) − (y₁x₂ + y₂x₃ + y₃x₄ + y₄x₅ + y₅x₁)|という公式で、直接面積が求められます。
その他、ヘロンの公式、ピックの定理、複合図形として全体から引く方法など、状況に応じた様々なアプローチがあります。
実際の測量や建築の現場でも、五角形の面積計算は重要な技術です。
基本的な計算方法を理解し、問題に応じて最適な方法を選べるようになることで、より複雑な図形問題にも対応できる力が身につくでしょう。
