数学の組み合わせ計算で「11C11」という表記を見たとき、どう考えればよいのか戸惑ったことはありませんか。
11個のものから11個すべてを選ぶという状況は、一見すると当たり前すぎて計算する意味がないように思えるかもしれません。しかし組み合わせの理論では、このような場合も厳密に定義されており、明確な答えが存在します。
実は11C11の答えは非常にシンプルで、しかもすべてのnについてnCnは同じ値になるという美しい性質があるのです。本記事では11C11の計算方法から答え、そしてなぜその答えになるのかという理由まで、丁寧に解説していきます。組み合わせの基本的な性質や覚え方のコツもお伝えしますので、数学に苦手意識がある方でも安心して読み進めてください。
11C11の答えは1【結論と計算方法】
それではまず11C11の答えと計算方法について解説していきます。
11C11の答えは1になる
11個のものから11個すべてを選ぶ組み合わせの数は1通りということになります。これは直感的にも理解しやすいでしょう。すべてを選ぶ方法は、文字通り「すべて選ぶ」という1つの方法しかありません。
選ぶ順序は関係ないため、どのような順番で11個を選んでも、最終的に選ばれる集合は同じになります。したがって組み合わせとしては1通りなのです。
組み合わせの公式を使った計算
組み合わせnCrの基本公式を使って計算してみましょう。
この公式に11C11を当てはめます。
= 11! / (11! × 0!)
= 11! / (11! × 1)
= 1
ここで重要なのは0! = 1という定義です。0の階乗は1と定められているため、分母は11!×1となり、分子の11!と約分されて答えは1になります。
直感的な理解
公式を使わなくても、直感的に考えることができます。
11個のボールがあって、そこから11個すべてを選ぶとします。選び方は何通りあるでしょうか。答えは明らかに1通りです。すべてのボールを選ぶという行為には、選択の余地がまったくないからです。
例えば以下のように考えてみましょう。
→ {A, B, C}という1通りのみ
・1、2、3、4、5の5個から5個すべてを選ぶ
→ {1, 2, 3, 4, 5}という1通りのみ
どのような集合でも、すべての要素を選ぶ方法は1通りしかありません。これがnCn=1という性質の本質なのです。
nCn=1が常に成り立つ理由【一般的な証明】
続いてはすべてのnについてnCn=1となる理由を確認していきます。
数式による証明
nCnが常に1になることを数式で証明しましょう。
= n! / (n! × 0!)
= n! / (n! × 1)
= n! / n!
= 1
0! = 1という定義が重要な役割を果たしています。この定義がなければ、nCnの計算が成り立たないでしょう。逆に言えば、0! = 1と定義する理由の1つが、組み合わせの公式を矛盾なく成立させるためなのです。
具体例で確認する
いくつかの具体例を見てみましょう。
| 組み合わせ | 計算 | 答え |
|---|---|---|
| 1C1 | 1!/(1!×0!) = 1/1 | 1 |
| 2C2 | 2!/(2!×0!) = 2/2 | 1 |
| 3C3 | 3!/(3!×0!) = 6/6 | 1 |
| 5C5 | 5!/(5!×0!) = 120/120 | 1 |
| 11C11 | 11!/(11!×0!) = 39916800/39916800 | 1 |
どのnについても、答えは必ず1になります。分子と分母が同じ値になるため、どんなに大きなnでも答えは1なのです。
集合論的な解釈
集合論の観点からも考えてみましょう。
n個の要素を持つ集合Aがあるとき、「A自身を選ぶ方法」は1通りしかありません。部分集合として考えると、A全体という部分集合は唯一存在するのです。
Aのすべての要素を含む部分集合 = A自身のみ
したがって、n個の要素すべてを選ぶ組み合わせは1通りと結論づけられます。この考え方は、「全体集合は1つしかない」という集合論の基本原理に基づいているのです。
nCnとnC0の関係【対称性から見る】
続いてはnCnとnC0の関係を確認していきます。
対称性の公式nCr=nC(n-r)
組み合わせの対称性を使うと、興味深い関係が見えてきます。
つまりnCnとnC0は等しく、どちらも1になります。これは対称性の公式から導かれる重要な結果です。
実際に確認してみましょう。
10C10 = 10C0 = 1
5C5 = 5C0 = 1
すべてのnについて、この関係が成り立ちます。
なぜnC0=1なのか
nC0が1になる理由も理解しておきましょう。
「n個のものから0個選ぶ」というのは、「何も選ばない」ということです。何も選ばない方法は1通りしかありません。2通りの「何も選ばない方法」があるわけではないのです。
この空集合は1つしか存在しない
したがってnC0 = 1
この理解は、数学における「空(くう)」の概念を正しく扱うために重要です。「何もない」という状態も1つの明確な状態として数えられるのです。
パスカルの三角形での位置
パスカルの三角形を見ると、この関係がよく分かります。
1 1 (1C0, 1C1)
1 2 1 (2C0, 2C1, 2C2)
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
各行の両端は常に1になっています。左端がnC0、右端がnCnを表しており、どちらも1なのです。この美しい対称性が、組み合わせ理論の基礎となっています。
11C11を含む実践問題
続いては11C11が実際にどのような場面で使われるのかを確認していきます。
確率問題での応用
11C11は確率の計算で分母や分子として登場することがあります。
解答:
11枚すべてを引く方法 = 11C11 = 1通り
全体の引き方 = 1通り(すべて引くしかない)
確率 = 1/1 = 1(必ず起こる)
このように、「必ず起こる事象」の確率を求める際に、nCnが使われます。確率1は「確実に起こる」ことを意味するのです。
全選択問題での活用
すべてを選ぶ場合の数を求める問題でも使われます。
解答:11C11 = 1通り
(全員を選ぶ方法は1つしかない)
この問題は簡単に見えますが、組み合わせの理論を正しく理解しているかを確認する良い例題です。「全員を選ぶ」という行為に選択の余地はないため、答えは1通りになります。
二項定理での係数
二項定理の展開でも、nCnは重要な役割を果たします。
最後の項の係数が11C11=1なので、b¹¹の項の係数は1になります。これは(a+b)ⁿの展開において、最初と最後の項の係数が常に1であることを示しているのです。
同様に、最初の項aⁿの係数もnC0=1です。この対称性が二項定理の美しさを際立たせています。
まとめ
11C11の計算方法と答えについて詳しく解説してきました。
11C11の答えは1であり、これは組み合わせの公式nCr=n!/(r!×(n-r)!)に当てはめることで導き出せます。11個すべてを選ぶ方法は1通りしかないという直感的な理解とも一致するでしょう。
nCn=1という性質はすべてのnについて成り立ち、0!=1という定義が重要な役割を果たしています。また対称性によりnCn=nC0という関係もあり、どちらも1になります。
「すべてを選ぶ」や「何も選ばない」という極端なケースでも、組み合わせの理論は矛盾なく機能します。11C11=1という答えは、数学における定義の厳密さと美しさを示す良い例と言えるでしょう。
パスカルの三角形の両端が常に1であることや、二項定理の最初と最後の係数が1であることなど、nCn=1という性質は数学の様々な場面で重要な意味を持っています。この基本的な性質をしっかり理解しておけば、より高度な組み合わせの問題にも対応できるようになるはずです。
