11C3の計算方法や答えは(数学の確率・場合の数・組み合わせ)? 求め方や覚え方のコツも!11C8と同じ?【なぜ】

組み合わせの計算において、11C3は実践的な問題で頻繁に登場する重要な計算です。「11個から3個を選ぶ組み合わせ」という設定は、確率問題や場合の数の問題でよく見られるパターン。

「11C3の計算方法が分からない」「答えはいくつになるの?」「11C8と同じって聞いたけど本当?なぜそうなるの?」こうした疑問を持つ方は多いでしょう。3個選ぶ組み合わせは、計算が少し複雑に見えるかもしれません。

しかし安心してください。公式に従って順番に計算すれば、誰でも正確に答えを導き出せます。さらに、11C8との対称性を理解すれば、計算の効率が格段に上がるのです。

本記事では、11C3の計算方法と答えを基礎から丁寧に解説します。組み合わせの公式の使い方、階乗の約分テクニック、11C8との対称性、そして実践的な覚え方まで、確率・場合の数を得意分野にするための情報を網羅的にお届けしますので、ぜひ最後までご覧ください。

11C3の答えと基本的な計算方法

それではまず、11C3の答えと基本的な計算方法について解説していきます。

11C3の答えは165

11C3は「11個の異なるものの中から3個を選ぶ組み合わせの総数」を意味し、答えは165です。

計算方法は以下の通りです。

この計算では、選ぶ順番は考慮しないという点が重要です。「A、B、Cを選ぶ」という組み合わせは、並べる順番に関係なく1通りとしてカウントします。

11C3が使われる具体的な状況

11C3は日常生活や試験問題でよく見られます。具体例を見てみましょう。

いずれの場合も、「A、B、Cを選ぶ」ことと「C、B、Aを選ぶ」ことは同じ組み合わせとして扱います。順序は関係ないため、組み合わせ(C)を使用するのです。

もし「11人から会長、副会長、書記を選ぶ」のように役職が決まっていれば、順番が重要になるため順列(P)を使います。組み合わせと順列の違いを明確に理解することが、正しい計算への第一歩でしょう。

簡単な覚え方:nC3の公式

11C3のような「3個選ぶ組み合わせ」には、便利な公式があります。

この公式を覚えておけば、どんなnでも3個選ぶ組み合わせを素早く計算できます。分母の6は3!=6から来ていることも理解しておきましょう。

11C3の詳しい計算手順

続いては、11C3の詳しい計算手順を確認していきます。

階乗を使った計算の進め方

11C3を階乗の定義に従って計算してみましょう。

ここで8!が分子と分母で約分できます。

11C3 = (11 × 10 × 9) / 6
= 990 / 6
= 165

この約分のテクニックを使えば、大きな階乗を計算する必要がありません。

効率的な計算とコツ

実際の計算では、途中で約分するとさらに効率的です。

計算ステップ	計算内容	結果
1	分子を計算(11×10×9)	990
2	分母を計算(3×2×1)	6
3	分子÷分母	165

途中で約分する方法なら、計算ミスを減らしながら素早く答えを出せます。試験では時間が限られているため、効率的な計算方法を身につけておくことが重要です。

検算方法と答えの確認

計算ミスを防ぐため、答えが正しいか確認する方法を知っておきましょう。

11C3 = 165という答えが妥当かどうか、チェックできます。

このチェックを習慣づけることで、計算ミスを早期に発見できるでしょう。

11C3=11C8となる理由(対称性)

続いては、なぜ11C3と11C8が等しくなるのかを確認していきます。

11C3=11C8という対称性

11C3には重要な性質があります。それは、11C3 = 11C8という対称性です。

視点	11C3	11C8
意味	11個から3個を選ぶ	11個から8個を選ぶ
別の視点	11個から8個を選ばない	11個から3個を選ばない
答え	165	165

この関係が成り立つ理由は、対称性の法則によるもの。11個から3個を選ぶことは、言い換えれば11個から8個を選ばないこと。逆に、8個を選ぶことは3個を選ばないことと同じなのです。

なぜ3個選ぶことと8個選ぶことが対応するのか

具体例で考えると、対称性の意味がより明確になるでしょう。A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、Kの11人がいるとします。

選ぶ3人と選ばない3人が一対一で対応するため、組み合わせの総数も必ず等しくなるわけです。

実際に11C8を計算して確認してみましょう。

11C8 = 11! / (8! × 3!)
= (11 × 10 × 9) / 6
= 165

確かに11C3と同じ値になります。

対称性を活用した計算の効率化

対称性の法則は、実際の問題を解く際に非常に有効です。特にrがnの半分より大きい場合に活用しましょう。

11C8を直接計算すると分子が8個の掛け算になりますが、11C3に変換すれば3個の掛け算で済みます。この差は、計算時間と正確性の両面で大きな影響を与えるのです。

11C3の覚え方と実践的活用法

続いては、11C3を確実にマスターし実践で活用するためのポイントを確認していきます。

効率的な覚え方と計算パターン

11C3のような頻出の組み合わせは、計算方法とともに答えも覚えてしまうと便利です。

nC3の一般的なパターンも押さえておくとよいでしょう。

組み合わせ	計算式	答え
5C3	(5×4×3)/6	10
10C3	(10×9×8)/6	120
11C3	(11×10×9)/6	165
20C3	(20×19×18)/6	1,140

nC3 = n(n-1)(n-2)/6という公式を覚えれば、どんなnでも3個選ぶ組み合わせを素早く計算できます。

実際の確率問題での応用例

11C3は、実際の確率・場合の数の問題でどのように使われるのでしょうか。典型的な問題を見てみましょう。

このように、全体の場合の数として11C3を使うことが非常に多いのです。

より複雑な例も見てみましょう。

11C3単体だけでなく、他の組み合わせと組み合わせて使うことも多いのです。基本をしっかり押さえておけば、こうした応用問題にも柔軟に対応できるでしょう。

よくある間違いと確実な対策

11C3の計算でよくある間違いとその対策をまとめました。

これらのミスを防ぐには、計算手順を確立することが重要です。分子を計算→分母を計算→割り算、この順序を守れば、ミスは大幅に減るでしょう。

また、答えが妥当かチェックする習慣も大切です。11C3なら11C2=55より大きく、11C4=330より小さいはず。165という答えはこの範囲に収まっているので、正しいと判断できます。

まとめ

11C3の計算方法と答えについて、基礎から応用まで詳しく解説してきました。

11C3は「11個から3個を選ぶ組み合わせ」を表し、答えは165です。計算方法は、公式nCr = n!/(r!×(n-r)!)を使い、11C3 = 11!/(3!×8!) = (11×10×9)/6 = 990÷6 = 165となります。簡易計算法を使えば、分子に11×10×9=990、分母に3!=6を置いて、990÷6=165と計算できるのです。

重要なポイントは、対称性の法則により11C3 = 11C8となること。これは「3個を選ぶ」ことと「8個を選ぶ(=3個を選ばない)」ことが対応しているためです。この性質を理解すれば、複雑な計算も効率的に解けるようになるでしょう。

覚え方のコツとしては、nC3 = n(n-1)(n-2)/6という公式を覚えること。分母の6は3!=6から来ていることを理解しておけば、忘れにくくなります。また、実際の問題では全体の場合の数として11C3を使うケースが多く、他の組み合わせと組み合わせて使うことも頻繁にあるため、柔軟な応用力を身につけておきましょう。

11C3は組み合わせの重要な基礎。ここで学んだ計算方法や対称性の考え方は、より複雑な組み合わせを理解する土台となります。確実にマスターして、確率・場合の数の問題を自信を持って解けるようになりましょう。