11C2の計算方法や答えは(数学の確率・場合の数・組み合わせ)? 求め方や覚え方のコツも!11C9と同じ?【なぜ】

組み合わせの計算において、11C2は基本的で実用性の高い重要な計算です。「11個から2個を選ぶ組み合わせ」という設定は、確率問題や場合の数の問題で非常によく登場するパターン。

「11C2の計算方法が分からない」「答えはどうやって求めるの?」「11C9と同じって聞いたけど本当?なぜそうなるの?」こうした疑問を持つ方は多いでしょう。2個選ぶ組み合わせは、1個選ぶより少し複雑に見えるかもしれません。

しかし安心してください。11C2は公式に当てはめるだけで簡単に計算できます。さらに、11C9との対称性を理解すれば、計算の効率が格段に上がるのです。

本記事では、11C2の計算方法と答えを基礎から丁寧に解説します。組み合わせの公式の使い方、11C9との対称性、効率的な計算テクニック、そして実践的な覚え方まで、確率・場合の数を完全にマスターするための情報を網羅的にお届けしますので、ぜひ最後までご覧ください。

11C2の答えと基本的な計算方法

それではまず、11C2の答えと基本的な計算方法について解説していきます。

11C2の答えは55

11C2は「11個の異なるものの中から2個を選ぶ組み合わせの総数」を意味し、答えは55です。

計算方法は以下の通りです。

この計算では、選ぶ順番は考慮しないという点が重要です。「AとBを選ぶ」ことと「BとAを選ぶ」ことは同じ組み合わせとして扱います。

11C2が使われる具体的な状況

11C2は日常生活や試験問題でよく見られます。具体例を見てみましょう。

11C2は日常生活や試験問題でよく見られます。具体例を見てみましょう。

いずれも「AとBを選ぶ」ことと「BとAを選ぶ」ことは同じ組み合わせとして扱います。順番が関係ないため、組み合わせ(C)を使用するのです。

もし順番を考慮するなら順列(P)を使います。たとえば「11人から委員長と副委員長を選ぶ」場合は11P2となるでしょう。組み合わせと順列の違いをしっかり理解することが、正しい計算への第一歩なのです。

簡単な覚え方:nC2=n(n-1)/2

11C2のような「2個選ぶ組み合わせ」には、便利な公式があります。

この公式を覚えておけば、どんなnでも2個選ぶ組み合わせを素早く計算できます。握手の回数、試合の組み合わせ、ペアの作り方など、2つのものを選ぶ実用的な場面でよく使われるのです。

11C2=11C9となる理由(対称性)

続いては、なぜ11C2と11C9が等しくなるのかを確認していきます。

11C2=11C9という対称性

11C2には重要な性質があります。それは、11C2 = 11C9という対称性です。

視点	11C2	11C9
意味	11個から2個を選ぶ	11個から9個を選ぶ
別の視点	11個から9個を選ばない	11個から2個を選ばない
答え	55	55

この関係が成り立つ理由は、対称性の法則によるもの。11個から2個を選ぶことは、言い換えれば11個から9個を選ばないこと。逆に、9個を選ぶことは2個を選ばないことと同じ。

つまり、選ぶ2個と選ばない2個が一対一で対応するため、組み合わせの総数も等しくなるのです。この性質を知っていれば、11C9を計算する際に11C2として計算できるため、効率が大幅に向上するでしょう。

なぜ11C2を学ぶ必要があるのか

11C2は組み合わせの中でも、実用性が高く重要な計算です。その理由を整理してみましょう。

特に重要なのは、nC2 = n(n-1)/2という公式を理解することです。この公式を使えば、どんなnでも2個選ぶ組み合わせを素早く計算できます。

11C2 = 55という値は覚えておくと便利な数字。試験で頻出するため、計算方法とともに答えも記憶しておくとよいでしょう。

11C2の計算方法と答え

続いては、11C2の具体的な計算方法を確認していきます。

組み合わせの公式を使った計算

11C2を公式に従って計算してみましょう。

階乗を展開してみましょう。

11! = 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
2! = 2 × 1 = 2

これを代入すると、9!が分子と分母で約分できます。

11C2 = (11 × 10 × 9!) / (2 × 9!)
= (11 × 10) / 2
= 110 / 2
= 55

したがって、11C2の答えは55です。

簡単な計算方法とコツ

実は、もっとシンプルな計算方法があります。分子にはnから順にr個だけ掛け算し、分母にはr!を置く方法です。

この方法なら、大きな階乗を計算する必要がありません。手順は以下の通りです。

1. 分子:11から順に2個掛け算する → 11 × 10
2. 分母:2!を計算する → 2 × 1
3. 分子÷分母を計算する → 110 ÷ 2 = 55

ステップ	計算内容	結果
1	分子を計算(11×10)	110
2	分母を計算(2×1)	2
3	分子÷分母	55

この計算なら、暗算でもできる人が多いのではないでしょうか。特に試験では時間が限られているため、効率的な計算方法を身につけておくことが重要です。

nC2=n(n-1)/2の公式

11C2のような「2個選ぶ組み合わせ」には、便利な公式があります。

この公式を覚えておけば、どんなnでも2個選ぶ組み合わせを素早く計算できます。

この公式は、2つのものを選ぶという日常的な場面でもよく使われます。握手の回数、試合の組み合わせ、ペアの作り方など、応用範囲は非常に広いのです。

たとえば11人が全員と1回ずつ握手する場合、握手の回数は11C2 = 55回となります。このように、nC2は実生活でも活用できる実用的な公式なのです。

11C2=11C9となる理由と対称性

続いては、なぜ11C2と11C9が等しくなるのかを確認していきます。

対称性の法則の数学的根拠

組み合わせには、nCr = nC(n-r)という重要な性質があります。これが対称性の法則です。

11の場合、以下のような対応関係が成り立ちます。

この法則が成り立つ理由を、公式から確認してみましょう。

11C2 = 11! / (2! × 9!)
11C9 = 11! / (9! × 2!)

分母の2!と9!の順序が入れ替わっただけで、掛け算なので結果は同じ。つまり、11C2 = 11C9が数学的に証明されるのです。

実際に11C9を計算して確認してみましょう。

11C9 = 11! / (9! × 2!)
= (11 × 10 × 9!) / (9! × 2)
= (11 × 10) / 2
= 55

確かに11C2と同じ値になります。

2個選ぶことと9個選ぶことの対応

具体例で考えると、対称性の意味がより明確になるでしょう。A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、Kの11人がいるとします。

11C2(2人を選ぶ)	11C9(9人を選ぶ=2人を選ばない)
AとBを選ぶ	C〜Kを選ぶ(AとBを選ばない)
AとCを選ぶ	B、D〜Kを選ぶ(AとCを選ばない)
JとKを選ぶ	A〜Iを選ぶ(JとKを選ばない)

11C2で「AとBを選ぶ」という1つの組み合わせは、11C9で「AとB以外の9人を選ぶ」という1つの組み合わせと完全に一対一で対応しています。

選ぶ2人と選ばない2人が対応するため、組み合わせの総数も必ず等しくなるわけです。この対称性を理解していると、計算がぐっと楽になります。

対称性を活用した計算の効率化

対称性の法則は、実際の問題を解く際に大きな武器となります。特にrがnの半分より大きい場合に活用すると効果的でしょう。

変換することで、分子の掛け算の回数が減り、計算ミスも防げます。11C9なら本来は分子が9個の掛け算が必要ですが、11C2に変換すれば11×10の2個だけで済むのです。

試験では時間との戦いです。対称性を使いこなせれば、計算時間を大幅に短縮できるでしょう。常にrとn-rを比較し、小さいほうで計算する習慣をつけることをおすすめします。

11C2の覚え方と実践的活用法

続いては、11C2を確実にマスターし実践で活用するためのポイントを確認していきます。

効率的な覚え方と計算パターン

11C2のような小さな組み合わせは、答えを覚えてしまうのも一つの方法です。

よく使われる組み合わせの値を表にまとめました。

組み合わせ	計算式	答え
10C2	10×9/2	45
11C2	11×10/2	55
12C2	12×11/2	66
20C2	20×19/2	190

特にnC2 = n(n-1)/2という公式は覚えておくと便利です。これを使えば、どんなnでも2個選ぶ組み合わせを素早く計算できるでしょう。

実際の確率問題での応用例

11C2は、実際の確率・場合の数の問題でどのように使われるのでしょうか。典型的な問題を見てみましょう。

このように、全体の場合の数として11C2を使うことが非常に多いのです。

別の例も見てみましょう。

11C2単体だけでなく、他の組み合わせと組み合わせて使うことも多いのです。

基本をしっかり押さえておけば、こうした応用問題にも柔軟に対応できるでしょう。

よくある間違いと対策

11C2の計算でよくある間違いとその対策をまとめました。

これらのミスを防ぐには、公式の意味を理解することが重要です。なぜ分母に2!があるのか、なぜ分子は11×10なのかを理解していれば、機械的なミスは減るでしょう。

また、計算後に必ず「答えが妥当か」をチェックする習慣も大切です。11C2なら、11C1=11より大きく、11C3=165より小さい値になるはず。55という答えはこの範囲に収まっているので、正しいと判断できます。

まとめ

11C2の計算方法と答えについて、基礎から応用まで詳しく解説してきました。

11C2は「11個から2個を選ぶ組み合わせ」を表し、答えは55です。計算方法は、公式nCr = n!/(r!×(n-r)!)を使い、11C2 = 11!/(2!×9!) = (11×10)/2 = 55となります。簡易計算法を使えば、分子に11×10、分母に2×1を置いて計算するだけ。暗算でも可能な計算です。

重要なポイントは、対称性の法則により11C2 = 11C9となること。これは「2個を選ぶ」ことと「9個を選ぶ(=2個を選ばない)」ことが対応しているためです。この性質を理解すれば、複雑な計算も効率的に解けるようになるでしょう。

覚え方のコツとしては、nC2 = n(n-1)/2という公式を覚えること。これを使えば、どんな数でも2個選ぶ組み合わせを素早く計算できます。また、実際の問題では全体の場合の数として11C2を使うケースが多いため、確率計算との関連も意識しておくとよいでしょう。

11C2は組み合わせの基本的で実用的なパターン。ここで学んだ計算方法や対称性の考え方は、11C3、11C4といったより複雑な組み合わせを理解する土台となります。焦らず丁寧に基礎を固め、確率・場合の数の問題を自信を持って解けるようになりましょう。