10C2の計算方法や答えは(数学の確率・場合の数・組み合わせ・組み合わせ)? 求め方や覚え方のコツも!10C8と同じ?【なぜ】

数学の確率や場合の数の問題で頻繁に登場する10C2の計算。「10個から2個を選ぶ組み合わせ」という、組み合わせの中でも特に基本的で重要な計算です。

「10C2ってどうやって計算するの?」「答えは何になる?」「10C8と同じって聞いたけど本当?」こうした疑問を抱える方は多いはず。10C1は直感的に理解しやすいものの、10C2になると急に難しく感じる人もいるでしょう。

しかし安心してください。10C2の計算は公式に当てはめるだけで簡単に解けます。さらに、なぜ10C8と同じ値になるのかを理解すれば、組み合わせの本質が見えてきます。

本記事では、10C2の計算方法と答えを基礎から丁寧に解説。組み合わせの公式の使い方、10C8との関係性、覚え方のコツ、そして実際の問題での活用法まで、確率・場合の数を得意にするための情報を網羅的にお伝えします。数学が苦手な方でも理解できるよう、具体例を交えながら分かりやすく説明していきますので、ぜひ最後までお読みください。

10C2とは?組み合わせの意味を理解しよう

それではまず、10C2が何を表しているのかについて解説していきます。

10C2が表す具体的な意味

10C2は「10個の異なるものの中から2個を選ぶ組み合わせの総数」を意味します。ここで重要なのは、選ぶ順番は考慮しないという点です。

具体的な状況で考えてみましょう。

いずれも「AとBを選ぶ」ことと「BとAを選ぶ」ことは同じ組み合わせとして扱います。順番が関係ないため、組み合わせ(C)を使うのです。

もし順番を考慮するなら順列(P)を使います。たとえば「10人から委員長と副委員長を選ぶ」場合は10P2となるでしょう。組み合わせと順列の違いをしっかり理解することが、正しい計算への第一歩なのです。

組み合わせと順列の違いを再確認

10C2と10P2の違いを具体的に見てみましょう。A、B、C、D、E、F、G、H、I、Jの10人がいるとします。

選び方	組み合わせ(10C2)	順列(10P2)
AとBを選ぶ	1通りとカウント	A→BとB→Aで2通り
意味	選ぶだけ(順不同)	選んで並べる(順序重要)
計算結果	45通り	90通り

10P2 = 10C2 × 2!という関係があります。つまり、順列は組み合わせの2倍の値になるのです。これは、2個のものを並べる方法が2!=2通りあるため。

問題文に「選ぶ」とだけ書いてあれば組み合わせ、「並べる」「順番」といったキーワードがあれば順列を使います。この判断基準を覚えておくとよいでしょう。

なぜ10C2を学ぶ必要があるのか

10C2は組み合わせの基礎として非常に重要です。以下のような理由から、確実にマスターしておく必要があります。

たとえば確率の問題で「10枚のカードから2枚引いて両方が赤である確率」を求める場合、全体の場合の数として10C2を計算します。また、より複雑な10C5や10C7といった計算も、10C2の理解があればスムーズに学べるでしょう。

数学が苦手な人ほど、基本的な10C2でつまずくことが多いのです。逆に言えば、ここをしっかり理解すれば、組み合わせ全体への理解が深まります。焦らず丁寧に学んでいきましょう。

10C2の計算方法と答え

続いては、10C2の具体的な計算方法を確認していきます。

組み合わせの公式を使った計算

10C2を計算するには、組み合わせの公式を使います。一般的な公式は以下の通りです。

階乗を展開してみましょう。

10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
2! = 2 × 1 = 2

これを代入すると、8!が分子と分母で約分できます。

10C2 = (10 × 9 × 8!) / (2 × 8!)
= (10 × 9) / 2
= 90 / 2
= 45

したがって、10C2の答えは45です。

簡単な計算方法とコツ

実は、もっとシンプルな計算方法があります。分子にはnから順に r個だけ掛け算し、分母にはr!を置く方法です。

この方法なら、大きな階乗を計算する必要がありません。手順は以下の通りです。

1. 分子:10から順に2個掛け算する → 10 × 9
2. 分母:2!を計算する → 2 × 1
3. 分子÷分母を計算する → 90 ÷ 2 = 45

ステップ	計算内容	結果
1	分子を計算(10×9)	90
2	分母を計算(2×1)	2
3	分子÷分母	45

この計算なら、暗算でもできる人が多いのではないでしょうか。特に試験では時間が限られているため、効率的な計算方法を身につけておくことが重要です。

検算と確認方法

計算ミスを防ぐため、答えが正しいか確認する方法を知っておきましょう。

10C2 = 45という答えが妥当かどうか、直感的に考えてみます。10個から2個を選ぶ組み合わせは、10個から1個選ぶ10C1=10よりは確実に多くなるはず。一方で、10P2=90(順列)よりは少ないはずです。

また、別の公式や対称性を使って検算する方法もあります。10C2 = 10C8という対称性を利用すれば、10C8を計算して45になるか確認できるでしょう。

さらに、nCr = nC(r-1) + (n-1)C(r-1)というパスカルの三角形の性質を使った検算も可能です。ただし、基本的には一度正確に計算できれば十分。何度も検算するより、最初から丁寧に計算する習慣をつけるほうが効率的でしょう。

10C2=10C8となる理由と対称性

続いては、なぜ10C2と10C8が等しくなるのかを確認していきます。

組み合わせの対称性の法則

組み合わせには、nCr = nC(n-r)という重要な性質があります。これを対称性の法則と呼びます。

10の場合、以下のような対応関係が成り立つのです。

この法則が成り立つ理由は、「選ぶ」という行為と「選ばない」という行為が表裏一体だから。10個から2個を選ぶことは、言い換えれば10個から8個を選ばないことと同じなのです。

公式で確認してみましょう。

10C8 = 10! / (8! × 2!)
= (10 × 9 × 8!) / (8! × 2)
= (10 × 9) / 2
= 45

確かに10C2と同じ値になります。

なぜ選ぶことと選ばないことが対応するのか

具体例で考えると、対称性の意味がより明確になります。A、B、C、D、E、F、G、H、I、Jの10人がいるとしましょう。

10C2(2人を選ぶ)	10C8(8人を選ぶ=2人を選ばない)
AとBを選ぶ	C,D,E,F,G,H,I,Jを選ぶ(=AとBを選ばない)
AとCを選ぶ	B,D,E,F,G,H,I,Jを選ぶ(=AとCを選ばない)
BとCを選ぶ	A,D,E,F,G,H,I,Jを選ぶ(=BとCを選ばない)

10C2で「AとBを選ぶ」という1つの組み合わせは、10C8で「AとB以外の8人を選ぶ」という1つの組み合わせと完全に対応しています。選ぶ2人と選ばない2人が一対一で対応するため、組み合わせの総数も等しくなるわけです。

この性質を理解していると、計算がぐっと楽になります。たとえば100C98を計算する場合、100C2と同じなので、分子は100×99、分母は2で計算すればよいのです。

対称性を活用した計算の効率化

対称性の法則は、実際の問題を解く際に大きな武器となります。特にrがnの半分より大きい場合に活用すると効果的でしょう。

変換することで、分子の掛け算の回数が減り、計算ミスも防げます。10C8なら本来は分子が10×9×8×7×6×5×4×3と8個の掛け算が必要ですが、10C2に変換すれば10×9の2個だけで済むのです。

試験では時間との戦いです。対称性を使いこなせれば、計算時間を大幅に短縮できるでしょう。常にrとn-rを比較し、小さいほうで計算する習慣をつけることをおすすめします。

10C2の覚え方と実践的な活用法

続いては、10C2を確実に理解し活用するためのポイントを確認していきます。

覚えておくべき計算パターン

10C2のような小さな組み合わせは、答えを覚えてしまうのも一つの方法です。よく使われる組み合わせの値を表にまとめました。

組み合わせ	答え	覚え方
10C1	10	nC1は常にn
10C2	45	(10×9)÷2
10C3	120	(10×9×8)÷(3×2×1)
10C5	252	10の組み合わせで最大

特にnC2 = n(n-1)/2という公式は覚えておくと便利です。これを使えば、どんなnでも2個選ぶ組み合わせを素早く計算できるでしょう。

この公式は、2つのものを選ぶという日常的な場面でもよく使われます。握手の回数、試合の組み合わせ、ペアの作り方など、応用範囲は広いのです。

実際の問題での使用例

10C2は、実際の確率・場合の数の問題でどのように使われるのでしょうか。典型的な問題例を見てみましょう。

このように、全体の場合の数として10C2を使うことが非常に多いのです。

別の例も見てみましょう。

やや複雑ですが、基本は10C2の繰り返しです。このように、組み合わせの問題はnC2を積み重ねて解くことが多いのです。

よくある間違いと対策

10C2の計算でよくある間違いとその対策をまとめました。

これらのミスを防ぐには、公式の意味を理解することが重要です。なぜ分母に2!があるのか、なぜ分子は10×9なのかを理解していれば、機械的なミスは減るでしょう。

また、計算後に必ず「答えが妥当か」をチェックする習慣も大切です。10C2なら、10C1=10より大きく、10P2=90より小さい値になるはず。45という答えはこの範囲に収まっているので、正しいと判断できます。

まとめ

10C2の計算方法と答えについて、基礎から応用まで詳しく解説してきました。

10C2は「10個から2個を選ぶ組み合わせ」を表し、答えは45です。計算方法は、公式nCr = n!/(r!×(n-r)!)を使い、10C2 = 10!/(2!×8!) = (10×9)/2 = 45となります。簡易計算法を使えば、分子に10×9、分母に2×1を置いて計算するだけ。暗算でも可能な計算です。

重要なポイントは、対称性の法則により10C2 = 10C8となること。これは「2個を選ぶ」ことと「8個を選ぶ(=2個を選ばない)」ことが対応しているためです。この性質を理解すれば、複雑な計算も効率的に解けるようになるでしょう。

覚え方のコツとしては、nC2 = n(n-1)/2という公式を覚えること。これを使えば、どんな数でも2個選ぶ組み合わせを素早く計算できます。また、実際の問題では全体の場合の数として10C2を使うケースが多いため、確率計算との関連も意識しておくとよいでしょう。

10C2は組み合わせの基本中の基本。ここで学んだ計算方法や対称性の考え方は、10C3、10C4といったより複雑な組み合わせを理解する土台となります。焦らず丁寧に基礎を固め、確率・場合の数の問題を自信を持って解けるようになりましょう。