数学の組み合わせ計算で「12C5」という表記を見たとき、どのように計算すればよいのでしょうか。
12個のものから5個を選ぶという状況は、確率や場合の数の問題で頻繁に登場します。5個選ぶ組み合わせは計算がやや複雑に見えるかもしれませんが、対称性を活用すれば効率的に答えを導き出せるのです。
本記事では12C5の計算方法から答え、そしてなぜ12C7と同じ値になるのかという理由まで、丁寧に解説していきます。組み合わせの対称性を活用した効率的な計算方法や約分のコツもお伝えしますので、数学に苦手意識がある方でも安心して読み進めてください。
12C5の答えは792【結論と計算方法】
それではまず12C5の答えと計算方法について解説していきます。
12C5の答えは792になる
12個のものから5個を選ぶ組み合わせの数は792通りということになります。この答えは組み合わせの公式を使って導き出せますが、計算の過程で効率的に約分を行うことが重要なポイントです。
また対称性を利用すれば、12C5=12C7という関係も成り立ちます。実際に計算する際は、5個選ぶ方が7個選ぶよりも計算が簡単なので、必ず小さい方で計算しましょう。
組み合わせの公式を使った計算
組み合わせnCrの基本公式を使って計算してみましょう。
この公式に12C5を当てはめます。
= 12! / (5! × 7!)
= (12 × 11 × 10 × 9 × 8 × 7!) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 7!)
= (12 × 11 × 10 × 9 × 8) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 95040 / 120
= 792
7!が分子と分母で約分されるため、実際には12×11×10×9×8を5×4×3×2×1で割る計算になります。
効率的な約分方法
計算をさらに効率化するため、約分しながら進める方法を紹介します。
12を4で割ると
= (3 × 11 × 10 × 9 × 8) / (5 × 1 × 3 × 2 × 1)
3同士で約分すると
= (1 × 11 × 10 × 9 × 8) / (5 × 1 × 1 × 2 × 1)
10を5で割ると
= (11 × 2 × 9 × 8) / (1 × 1 × 1 × 2 × 1)
2同士で約分すると
= (11 × 1 × 9 × 8) / 1
= 11 × 9 × 8
= 99 × 8
= 792
このように段階的に約分していけば、最後は掛け算だけになります。大きな数を割り算する必要がなくなるため、計算ミスも減るでしょう。
12C5=12C7となる理由【対称性の解説】
続いては12C5と12C7が同じ値になる理由を確認していきます。
選ぶことと残すことの対称性
組み合わせには重要な対称性があります。
この性質により、12C5=12C(12-5)=12C7が成立するのです。
12個のものから5個を選ぶという行為は、見方を変えれば12個のものから7個を選ばない(残す)という行為と完全に同じです。
例えば12枚のカードから5枚選ぶとき、選んだ5枚が決まれば、残った7枚も自動的に決まります。逆に、残す7枚を先に決めれば、選ぶ5枚も自動的に決まるでしょう。つまり「5枚選ぶ方法の数」と「7枚残す方法の数」は完全に一致するのです。
具体例で理解する一対一対応
小さな数字で具体的に考えてみましょう。
選ぶ5個 → 残る2個
ABCDE → FG
ABCDF → EG
ABCDG → EF
…
7C5 = 7C2 = 21通り
このように、選ぶ組み合わせと残る組み合わせは一対一に対応しています。
| 計算 | 意味 | 答え |
|---|---|---|
| 8C5 | 8個から5個選ぶ | 56 |
| 8C3 | 8個から3個残す | 56 |
| 10C5 | 10個から5個選ぶ | 252 |
| 10C5 | 10個から5個残す | 252 |
| 12C5 | 12個から5個選ぶ | 792 |
| 12C7 | 12個から7個残す | 792 |
どの場合でも対称性が成り立っていることが分かります。
数式で証明する対称性
対称性を数式で証明してみましょう。
= (12 × 11 × 10 × 9 × 8) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 95040 / 120
= 792
12C7 = 12! / (7! × 5!)
= (12 × 11 × 10 × 9 × 8) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 95040 / 120
= 792
よって 12C5 = 12C7
分母の5!と7!の順序が入れ替わっているだけで、掛け算なので結果は同じになります。分子も分母も完全に一致するため、当然答えも同じになるのです。
組み合わせ計算のコツと覚え方
続いては組み合わせの計算を効率的に行うコツを確認していきます。
小さい方の数で計算する鉄則
組み合わせを計算する際の最も重要なコツは、rとn-rのうち小さい方を使うことです。
直接計算すると
12C7 = (12×11×10×9×8×7×6) / (7×6×5×4×3×2×1)
→ 分子も分母も7項ずつで非常に複雑
対称性を使うと
12C7 = 12C5 = (12×11×10×9×8) / (5×4×3×2×1) = 792
→ 分子5項、分母5項で計算が簡単
常にrとn-rを比較して小さい方を選ぶ習慣をつけましょう。これにより計算量が劇的に減り、ミスも防げます。
5!の値を覚えておく
よく使う階乗の値を覚えておくと計算がスムーズになります。
・4! = 24
・5! = 120
・6! = 720
特に5!=120は頻出なので必ず覚えておきましょう。12C5の計算では分母が120になるため、この値を知っていれば計算が早くなります。
分子を先に計算
12 × 11 = 132
132 × 10 = 1320
1320 × 9 = 11880
11880 × 8 = 95040
95040 ÷ 120 = 792
このように、5!=120と覚えておけば計算の見通しが良くなるでしょう。
約分パターンの認識
どの数字とどの数字が約分できるかを見極める力も重要です。
12と4が約分可能(12÷4=3)
10と5が約分可能(10÷5=2)
9と3が約分可能(9÷3=3)
8と2が約分可能(8÷2=4)
このパターンを見つけられると計算が楽になる
分子の偶数と分母の偶数、分子の3の倍数と分母の3の倍数などを意識的に探すことで、効率的に約分できます。
12C5を含む実践問題
続いては12C5が実際にどのような場面で使われるのかを確認していきます。
委員会選出問題での応用
12C5は選抜や選出の問題でよく登場します。
解答:12C5 = 792通り
この問題は組み合わせの典型例です。12人のうちどの5人を選ぶかという問題なので、順序は関係なく組み合わせとして計算します。
もし「委員長1人、副委員長2人、書記2人の合計5人を選ぶ」という問題であれば、役割が異なるため計算方法が変わります。問題文をよく読んで、適切な計算方法を選びましょう。
カード選択問題での活用
カードゲームや抽選の問題でも12C5が使われます。
解答:12C5 = 792通り
問題:上記の中から5枚を選んだとき、すべて偶数である確率は?
解答:
偶数は6個(2,4,6,8,10,12)
偶数から5枚選ぶ組み合わせ = 6C5 = 6通り
全体の組み合わせ = 12C5 = 792通り
確率 = 6/792 = 1/132
このように、全体の場合の数や特定条件を満たす場合の数を求める際に、組み合わせの計算が活用されます。
くじ引きの配置問題
くじ引きの問題でも12C5が使われます。
解答:12C5 = 792通り
(12本のうちどの5本を当たりにするか)
別解:12C7 = 792通り
(12本のうちどの7本をはずれにするか)
このように、「当たりの位置を決める」という視点で12C5を使うこともできますし、「はずれの位置を決める」という視点で12C7を使うこともできます。どちらで考えても答えは同じになるのが対称性の面白さです。
まとめ
12C5の計算方法と答えについて詳しく解説してきました。
12C5の答えは792であり、これは組み合わせの公式nCr=n!/(r!×(n-r)!)を使って計算できます。効率的に計算するには、約分を先に行いながら進めることが重要です。
12C5=12C7となる理由は、組み合わせの対称性nCr=nC(n-r)によるものでした。「12個から5個を選ぶこと」と「12個から7個を残すこと」は表裏一体の関係にあり、場合の数は完全に一致するのです。
計算の際は必ずrとn-rを比較して小さい方を使うこと、5!=120などの基本的な階乗の値を覚えておくこと、約分パターンを認識することがコツになります。これらのテクニックを使えば、大きな数の組み合わせでも素早く正確に計算できるでしょう。
12C5のような組み合わせは、委員会選出、カードゲーム、くじ引きなど、実生活に関連する様々な場面で活用されます。基本をしっかり理解しながら、組み合わせの実用性と美しさを感じていただければ幸いです。
