数学の組み合わせ計算で「12C3」という表記を見たとき、どのように計算すればよいのでしょうか。
12個のものから3個を選ぶという状況は、確率や場合の数の問題で頻繁に登場します。3個選ぶ組み合わせは、2個選ぶ場合よりも計算が少し複雑に見えるかもしれませんが、効率的な計算方法を知っていればスムーズに答えが出せるのです。
本記事では12C3の計算方法から答え、そしてなぜ12C9と同じ値になるのかという理由まで、丁寧に解説していきます。組み合わせの対称性を活用した効率的な計算方法や覚え方のコツもお伝えしますので、数学に苦手意識がある方でも安心して読み進めてください。
12C3の答えは220【結論と計算方法】
それではまず12C3の答えと計算方法について解説していきます。
12C3の答えは220になる
12個のものから3個を選ぶ組み合わせの数は220通りということになります。この答えは組み合わせの公式を使って導き出せますが、計算の過程で約分をうまく活用することが重要です。
また対称性を利用すれば、12C3=12C9という関係も成り立ちます。実際に計算する際は、3個選ぶ方が9個選ぶよりも圧倒的に簡単なので、必ず小さい方で計算しましょう。
組み合わせの公式を使った計算
組み合わせnCrの基本公式を使って計算してみましょう。
この公式に12C3を当てはめます。
= 12! / (3! × 9!)
= (12 × 11 × 10 × 9!) / (3 × 2 × 1 × 9!)
= (12 × 11 × 10) / (3 × 2 × 1)
= 1320 / 6
= 220
9!が分子と分母で約分されるため、実際には12×11×10を3×2×1で割る計算になります。
効率的な約分方法
計算をさらに効率化するため、約分しながら進める方法を紹介します。
12と3で約分すると
= (4 × 11 × 10) / (1 × 2 × 1)
10と2で約分すると
= (4 × 11 × 5) / (1 × 1 × 1)
= 4 × 11 × 5
= 220
このように段階的に約分していけば、最後は掛け算だけになります。大きな数を割り算する必要がなくなるため、計算ミスも減るでしょう。
12C3=12C9となる理由【対称性の解説】
続いては12C3と12C9が同じ値になる理由を確認していきます。
選ぶことと残すことの対称性
組み合わせには重要な対称性があります。
この性質により、12C3=12C(12-3)=12C9が成立するのです。
12個のものから3個を選ぶという行為は、見方を変えれば12個のものから9個を選ばない(残す)という行為と完全に同じです。
例えば12枚のカードから3枚選ぶとき、選んだ3枚が決まれば、残った9枚も自動的に決まります。逆に、残す9枚を先に決めれば、選ぶ3枚も自動的に決まるでしょう。つまり「3枚選ぶ方法の数」と「9枚残す方法の数」は完全に一致するのです。
具体例で理解する一対一対応
小さな数字で具体的に考えてみましょう。
選ぶ3個 → 残る2個
ABC → DE
ABD → CE
ABE → CD
ACD → BE
ACE → BD
ADE → BC
BCD → AE
BCE → AD
BDE → AC
CDE → AB
10通りの選び方があり、5C3 = 5C2 = 10
このように、選ぶ組み合わせと残る組み合わせは一対一に対応しています。
| 計算 | 意味 | 答え |
|---|---|---|
| 6C3 | 6個から3個選ぶ | 20 |
| 6C3 | 6個から3個残す | 20 |
| 10C3 | 10個から3個選ぶ | 120 |
| 10C7 | 10個から7個残す | 120 |
| 12C3 | 12個から3個選ぶ | 220 |
| 12C9 | 12個から9個残す | 220 |
どの場合でも対称性が成り立っていることが分かります。
数式で証明する対称性
対称性を数式で証明してみましょう。
= (12 × 11 × 10) / (3 × 2 × 1)
= 1320 / 6
= 220
12C9 = 12! / (9! × 3!)
= (12 × 11 × 10) / (3 × 2 × 1)
= 1320 / 6
= 220
よって 12C3 = 12C9
分母の3!と9!の順序が入れ替わっているだけで、掛け算なので結果は同じになります。分子も分母も完全に一致するため、当然答えも同じになるのです。
組み合わせ計算のコツと覚え方
続いては組み合わせの計算を効率的に行うコツを確認していきます。
小さい方の数で計算する鉄則
組み合わせを計算する際の最も重要なコツは、rとn-rのうち小さい方を使うことです。
直接計算すると
12C9 = (12×11×10×9×8×7×6×5×4) / (9×8×7×6×5×4×3×2×1)
→ 非常に複雑
対称性を使うと
12C9 = 12C3 = (12×11×10) / (3×2×1) = 220
→ 圧倒的に簡単
常にrとn-rを比較して小さい方を選ぶ習慣をつけましょう。これにより計算量が劇的に減り、ミスも防げます。
約分を先に行う技術
階乗を展開してから約分するのではなく、計算しながら約分すると効率的です。
方法1:12を3で割る
(12÷3) × 11 × 10 / (2 × 1) = 4 × 11 × 10 / 2
方法2:10を2で割る
4 × 11 × (10÷2) / 1 = 4 × 11 × 5
最終結果:4 × 11 × 5 = 220
このように、計算の途中で約分できる部分を見つけると、最後は簡単な掛け算だけになります。
パターン認識で覚える
よく使う組み合わせの値をパターンとして覚えておくと便利です。
・12C3 = 220
・10C3 = 120
・6C3 = 20
特にnC3の一般公式「n(n-1)(n-2)÷6」を覚えておけば、3個選ぶ組み合わせは素早く計算できます。分母が必ず6(=3×2×1)になることを覚えておきましょう。
12C3を含む実践問題
続いては12C3が実際にどのような場面で使われるのかを確認していきます。
委員会選出問題での応用
12C3は選抜や選出の問題でよく登場します。
解答:12C3 = 220通り
この問題は組み合わせの典型例です。12人のうちどの3人を選ぶかという問題なので、順序は関係なく組み合わせとして計算します。
もし「委員長、副委員長、書記の3役を選ぶ」という問題であれば、順序が関係するため順列(12P3)になります。組み合わせと順列の違いを理解しておくことも重要です。
確率問題での活用
確率の計算でも12C3が登場します。
この中から3枚を同時に引くとき、引き方は何通りありますか?
解答:12C3 = 220通り
問題:上記の中から3枚引いたとき、すべて偶数である確率は?
解答:
偶数は6個(2,4,6,8,10,12)
偶数から3枚選ぶ組み合わせ = 6C3 = 20通り
全体の組み合わせ = 12C3 = 220通り
確率 = 20/220 = 1/11
このように、全体の場合の数や特定条件を満たす場合の数を求める際に、組み合わせの計算が活用されます。
宝くじやくじ引き問題
くじ引きの問題でも12C3が使われます。
この当たりとはずれの配置パターンは何通りありますか?
解答:12C3 = 220通り
(12本のうちどの3本を当たりにするか)
問題:上記のくじから3本同時に引いたとき、
すべて当たりを引く確率は?
解答:
すべて当たりを引く方法 = 1通り(3本の当たりをすべて引く)
3本を引く組み合わせ = 12C3 = 220通り
確率 = 1/220
くじの配置パターンを考える際に、当たりの位置を決める組み合わせとして12C3が使われるのです。
まとめ
12C3の計算方法と答えについて詳しく解説してきました。
12C3の答えは220であり、これは組み合わせの公式nCr=n!/(r!×(n-r)!)を使って計算できます。効率的に計算するには、約分を先に行いながら進めることが重要です。
12C3=12C9となる理由は、組み合わせの対称性nCr=nC(n-r)によるものでした。「12個から3個を選ぶこと」と「12個から9個を残すこと」は表裏一体の関係にあり、場合の数は完全に一致するのです。
計算の際は必ずrとn-rを比較して小さい方を使うこと、約分を途中で行うこと、nC3=n(n-1)(n-2)/6という公式を覚えておくことがコツになります。これらのテクニックを使えば、大きな数の組み合わせでも素早く正確に計算できるでしょう。
12C3のような組み合わせは、委員会選出、確率計算、くじ引き問題など、実生活に関連する様々な場面で活用されます。基本をしっかり理解しながら、組み合わせの実用性と美しさを感じていただければ幸いです。
