11C8の計算方法や答えは(数学の確率・場合の数・組み合わせ)? 求め方や覚え方のコツも!11C3と同じ?【なぜ】

数学の組み合わせで「11C8」という計算問題に直面したとき、効率的に解く方法をご存知でしょうか。11個のものから8個を選ぶ組み合わせの計算ですが、実は計算をぐっと楽にする秘訣があります。

驚くべきことに、11C8と11C3は全く同じ答えになるのです。選ぶ個数が8個と3個では大きく異なるのに、なぜ同じ値が得られるのでしょうか。

本記事では、11C8の計算方法と答えについて、公式を使った詳細な計算手順から、11C3との等価性、そして実用的な計算テクニックまで丁寧に解説していきます。組み合わせの対称性という性質を理解すれば、計算時間を大幅に短縮できるようになるでしょう。

11C8の答えは165！11C3と同じ値になる理由

それではまず、11C8の答えと、なぜ11C3と同じになるのかについて解説していきます。

11C8の計算結果は165

11C8を組み合わせの公式で計算すると、答えは165になります。これは11個のものから8個を選ぶ組み合わせが165通りあることを意味しています。

例えば、11科目の授業から8科目を履修する方法や、11種類の食材から8種類を使ってレシピを作る場合の数など、日常の様々な場面で応用できる計算です。この165という値は、組み合わせの公式を使って正確に導き出すことができます。

11C3も同じく165という結果

興味深いことに、11C3を計算しても同じ165という答えになります。

11個から8個を選ぶ組み合わせと、11個から3個を選ぶ組み合わせが同じ数になるというのは、一見不思議に感じるかもしれません。しかし、これには明確な数学的根拠があり、組み合わせの重要な性質として知られているのです。

この性質を活用すれば、複雑な計算を簡単な計算に置き換えることができるでしょう。

なぜ11C8と11C3が等しいのか

11C8と11C3が等しくなる理由は、「選ぶ」と「選ばない」が表裏一体の関係だからです。

11個のものから8個を選ぶということは、裏を返せば3個を選ばないということです。「どの8個を選ぶか」を決めることと「どの3個を残すか」を決めることは、同じ分け方を異なる視点で見ているに過ぎません。

この対称性は、一般的にnCr = nC(n-r)という公式で表されます。11C8の場合、n=11、r=8なので、11C8 = 11C(11-8) = 11C3となるのです。

11C8の計算方法を公式から丁寧に理解する

続いては、11C8の具体的な計算方法を段階的に確認していきます。

組み合わせの基本公式を適用する

組み合わせの計算には、次の公式を使います。

11C8の場合、n=11、r=8を公式に代入して計算していきます。階乗の記号「!」は、その数から1までのすべての整数を掛け合わせることを意味しているでしょう。

例えば、8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 40,320となります。

11C8を実際に計算する詳細手順

11C8を公式に当てはめて、ステップごとに計算してみましょう。

このように計算すると、11C8 = 165という答えが得られます。ただし、11!という非常に大きな数を扱うため、実際にはもっと効率的な計算方法があります。

次に紹介する約分のテクニックや、11C3への変換を使えば、より簡単に答えを導き出せるでしょう。

効率的な計算方法で手間を削減

11!を全部計算せず、途中で約分する方法を使うと効率的です。

分子と分母の共通部分を約分することで、扱う数字を大幅に小さくできます。さらに、11C8はr=8でn-r=3なので、11C3として計算すれば全く同じ計算になります。

このように、対称性を利用することで計算の見通しが良くなるでしょう。

11C8=11C3となる数学的証明と具体例

続いては、11C8と11C3が等しくなる理由を、数学的証明と具体例の両面から確認していきます。

nCr=nC(n-r)の対称性を証明する

組み合わせには、nCr = nC(n-r)という重要な対称性があります。

この証明により、11C8 = 11C(11-8) = 11C3が数学的に保証されます。掛け算には交換法則があるため、8! × 3!と3! × 8!は同じ値になるのです。

したがって、選ぶ個数がrでもn-rでも、結果は必ず同じになるでしょう。

具体的な場面で対称性を理解する

11C8と11C3が等しくなる理由を、日常的な例で考えてみましょう。

「8人を招待する」という決め方と、「3人を招待しない」という決め方は、最終的に同じ参加者リストを作り出します。別の例として、11本のペンから8本を購入する場合、「どの8本を買うか」を決めることと「どの3本を残すか」を決めることは同義なのです。

この直感的な理解が、11C8 = 11C3という等式の本質を表しているでしょう。

パスカルの三角形で視覚的に確認

パスカルの三角形を使うと、対称性が一目で理解できます。

組み合わせ	対応する組み合わせ	値
11C0	11C11	1
11C1	11C10	11
11C2	11C9	55
11C3	11C8	165
11C4	11C7	330
11C5	11C6	462

パスカルの三角形は完全に左右対称の構造を持っています。11段目の値を並べると、1-11-55-165-330-462-462-330-165-55-11-1となり、中心を軸に対称であることがわかるでしょう。

11C3と11C8がどちらも165であることが、この対称性からも確認できます。

11C8の計算における実践的テクニックと覚え方

続いては、11C8のような組み合わせを効率的に計算するための実践的なコツを確認していきます。

11C3に変換して計算する効率化の原則

11C8を計算する場合、11C3に変換してから計算する方が圧倒的に効率的です。

計算方法	分子の計算	分母の計算	効率
11C8で計算	11×10×9	3! = 6	○ まあまあ
11C3で計算	11×10×9	3! = 6	◎ 同じ計算

11C8と11C3は実際に同じ計算式になりますが、r > n/2のときはnC(n-r)に変換する習慣をつけておくと良いでしょう。例えば11C9なら11C2に、11C10なら11C1に変換することで、より直感的に計算できます。

11C8の場合、r=8なので11C3(r=3)として考える方が、掛け算の意味も理解しやすくなります。

階乗の途中約分で計算を簡略化

大きな階乗を扱うときは、計算の途中で約分していくテクニックが有効です。

このように途中で約分していくことで、扱う数字を小さく保ちながら計算できます。最終的な掛け算も11 × 15程度に収まるため、暗算でも十分に可能でしょう。

慣れてくれば、自分なりの効率的な約分のルートを見つけられるようになります。

対称性を利用した検算と時短テクニック

対称性の知識は、計算ミスの発見や時短に役立ちます。

また、計算結果を検証する際にも対称性が使えます。もし11C3を計算して165、11C8を計算して異なる値が出たら、どちらかの計算に誤りがあることがすぐにわかるでしょう。

さらに、試験などで時間が限られている場合、nCrとnC(n-r)のうち小さい方だけを計算し、もう一方は対称性から答えを導くという時短テクニックも有効です。11C8の問題が出たら、すぐに11C3として計算する判断力が大切になります。

まとめ

11C8の計算方法と答えについて、詳しく解説してきました。

11C8の答えは165であり、組み合わせの公式nCr = n! ÷ (r! × (n-r)!)を使って計算できます。具体的には、11C8 = 11! ÷ (8! × 3!) = (11 × 10 × 9) ÷ 6 = 165となります。

そして最も重要なポイントは、11C8と11C3が同じ値165になるということです。これは組み合わせの対称性nCr = nC(n-r)によるもので、11個から8個を選ぶことと3個を選ぶ（または8個を残す）ことが、結果として同じ組み合わせを作るためです。

計算を効率化するコツとしては、r > n/2の場合はnC(n-r)に変換してから計算する方法、階乗を途中で約分しながら計算する方法、そしてパスカルの三角形や対称性を活用する方法があります。特に11C8の場合は11C3として計算することで、分子の掛け算が3つだけになり、計算が非常に楽になるでしょう。

組み合わせの対称性を理解することで、計算効率が上がるだけでなく、計算ミスの発見や答えの推測も容易になります。この基本的な性質をしっかり押さえておくことが、確率や場合の数の問題を素早く正確に解くための鍵となるのです。