11C5の計算方法や答えは(数学の確率・場合の数・組み合わせ)? 求め方や覚え方のコツも!11C6と同じ?【なぜ】

数学の組み合わせの問題で「11C5」という計算に出会ったとき、どのように解けばよいのか迷うことはありませんか。11個のものから5個を選ぶ組み合わせの数を求める計算ですが、階乗を使った公式で正確に答えを導き出すことができます。

さらに興味深いことに、11C5と11C6は同じ答えになるという性質があるのです。一見すると選ぶ個数が違うのに、なぜ同じ値になるのでしょうか。

本記事では、11C5の計算方法と答えについて、公式を使った具体的な計算手順から、なぜ11C6と同じ値になるのかという数学的根拠まで、詳しく解説していきます。組み合わせの対称性という重要な性質や、計算を効率化するコツも合わせてお伝えしていきましょう。

11C5の答えは462！11C6と同じ値になる理由

それではまず、11C5の答えと、11C6と同じになる理由について解説していきます。

11C5の計算結果は462

11C5を組み合わせの公式に当てはめて計算すると、答えは462になります。これは、11個のものから5個を選ぶ組み合わせが462通りあるということを意味しています。

例えば、11人の生徒から5人の委員を選ぶ方法や、11種類のトッピングから5種類を選ぶパターンなど、様々な場面で応用できる数値です。この462という数は、組み合わせの公式を使って正確に計算できます。

11C6も同じく462になる

驚くべきことに、11C6を計算しても同じ462という答えになります。

11個から5個を選ぶ組み合わせと、11個から6個を選ぶ組み合わせが同じ数になるというのは、一見不思議に思えるかもしれません。しかし、これには明確な数学的理由があり、組み合わせの重要な性質の一つとなっています。

この性質を理解することで、計算の効率も大きく向上するでしょう。

なぜ11C5と11C6が同じ値なのか

11C5と11C6が同じになる理由は、「選ぶ」ことと「残す」ことが表裏一体だからです。

11個のものから5個を選ぶということは、裏を返せば6個を選ばずに残すということです。「どの5個を選ぶか」を決めることと「どの6個を残すか」を決めることは、同じ組み合わせを異なる視点で見ているに過ぎません。

この性質は、一般的にnCr = nC(n-r)という公式で表されます。11C5の場合、n=11、r=5なので、11C5 = 11C(11-5) = 11C6となるのです。

11C5の計算方法を段階的に理解する

続いては、11C5の具体的な計算方法を段階的に確認していきます。

組み合わせの公式を確認

組み合わせの計算には、次の公式を使います。

11C5の場合、n=11、r=5を代入して計算していきます。階乗の記号「!」は、その数から1までのすべての整数を掛け合わせることを意味しているでしょう。

例えば、5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120となります。

11C5を実際に計算する手順

11C5を公式に当てはめて、丁寧に計算してみましょう。

このように計算すると、11C5 = 462という答えが得られます。ただし、この方法では非常に大きな数を扱うことになり、計算が大変です。

実際には、もっと効率的な計算方法があるので、後ほど詳しく紹介していきましょう。

計算を効率化するコツ

11!を最後まで計算せず、途中で約分する方法があります。

分子と分母の共通部分を約分することで、扱う数を小さくできます。さらに効率を上げるなら、計算の途中で小さい数から順に約分していく方法も有効です。

11 × 10 = 110を120で割ると、途中で2や5などの因数が約分できるでしょう。

11C5=11C6となる数学的根拠と直感的理解

続いては、11C5と11C6が等しくなる理由を、数学的根拠と直感的理解の両面から確認していきます。

nCr=nC(n-r)という重要な性質

組み合わせには、nCr = nC(n-r)という対称性があります。

この表を見ると、組み合わせの値が対称的に並んでいることがわかります。数学的に証明すると、次のようになるでしょう。

この性質により、11C5 = 11C(11-5) = 11C6が成り立つのです。

選ぶことと残すことは表裏一体

11C5と11C6が等しくなる理由を、具体的な例で考えてみましょう。

「5人を選んで掃除当番にする」という決め方と、「6人を選んで掃除当番から外す」という決め方は、結果的に同じグループ分けを生み出します。別の例で考えると、11個のケーキから5個を買うとき、「どの5個を買うか」を決めることと「どの6個を残すか」を決めることは同じ意味になるのです。

この直感的な理解が、11C5 = 11C6という等式の本質と言えるでしょう。

パスカルの三角形で確認する

パスカルの三角形を見ると、対称性が視覚的にわかります。

パスカルの三角形は、左右対称になっています。11段目（一番下の行）を見ると、左から6番目と7番目の数字がどちらも462であることが確認できます。

これは11C5と11C6に対応しており、組み合わせの対称性を視覚的に示しているのです。

11C5の計算における実践的なコツと覚え方

続いては、11C5のような組み合わせを効率的に計算するためのコツを確認していきます。

階乗を約分して計算を簡単にする方法

大きな階乗を扱うときは、展開と約分を同時に行うと効率的です。

このように、大きい方の階乗を必要な部分だけ展開することで、計算が格段に楽になります。さらに計算しやすくするために、途中で約分できる数を探すと良いでしょう。

例えば、10と5は2で約分できますし、9と3は3で約分できます。

小さい方の数で計算する効率的な方法

11C5と11C6が同じ値なら、小さい方で計算する方が効率的です。

11C5の場合、rは5なので、n-r = 6よりも小さくなっています。一般的に、r > n/2の場合はnC(n-r)に変換してから計算すると効率が良いでしょう。

例えば11C8を計算する場合、11C3に変換すれば計算が簡単になります。

組み合わせの対称性を活用する

対称性を知っていると、答えを推測したり、計算ミスを発見できます。

また、計算結果を確認するときにも対称性が役立ちます。もし11C5を計算して462、11C6を計算して違う数になったとしたら、どちらか（あるいは両方）の計算が間違っていることがわかるでしょう。

このように、対称性の知識は計算の精度を高める強力なツールとなるのです。

まとめ

11C5の計算方法と答えについて、詳しく解説してきました。

11C5の答えは462であり、組み合わせの公式nCr = n! ÷ (r! × (n-r)!)に当てはめて計算できます。具体的には、11C5 = 11! ÷ (5! × 6!) = (11 × 10 × 9 × 8 × 7) ÷ 120 = 462となります。

そして重要なポイントとして、11C5と11C6は同じ値になります。これは、組み合わせの対称性nCr = nC(n-r)という性質によるものです。11個から5個を選ぶことと、11個から6個を選ぶ（または5個を残す）ことは、結果として同じグループ分けを意味するため、組み合わせの数も等しくなるのです。

計算を効率化するコツとしては、大きい方の階乗を必要な部分だけ展開して約分する方法や、r > n/2の場合はnC(n-r)に変換してから計算する方法があります。また、パスカルの三角形を活用すると、組み合わせの値を視覚的に理解できるでしょう。

組み合わせの対称性を理解しておくことで、計算の効率が上がるだけでなく、計算ミスの発見や答えの推測にも役立ちます。基本的な性質をしっかり押さえておくことが、確率や場合の数の問題を解く上での強力な武器となっていくのです。