組み合わせの計算において、11C2は基本的で実用性の高い重要な計算です。「11個から2個を選ぶ組み合わせ」という設定は、確率問題や場合の数の問題で非常によく登場するパターン。
「11C2の計算方法が分からない」「答えはどうやって求めるの?」「11C9と同じって聞いたけど本当?なぜそうなるの?」こうした疑問を持つ方は多いでしょう。2個選ぶ組み合わせは、1個選ぶより少し複雑に見えるかもしれません。
しかし安心してください。11C2は公式に当てはめるだけで簡単に計算できます。さらに、11C9との対称性を理解すれば、計算の効率が格段に上がるのです。
本記事では、11C2の計算方法と答えを基礎から丁寧に解説します。組み合わせの公式の使い方、11C9との対称性、効率的な計算テクニック、そして実践的な覚え方まで、確率・場合の数を完全にマスターするための情報を網羅的にお届けしますので、ぜひ最後までご覧ください。
11C2とは?2個選ぶ組み合わせの意味
それではまず、11C2が何を表しているのかについて解説していきます。
11C2が表す具体的な状況
11C2は「11個の異なるものの中から2個を選ぶ組み合わせの総数」を意味します。ここで重要なのは、選ぶ順番は考慮しないという点です。
日常生活や試験問題でよく見られる具体例を見てみましょう。
・11人のクラスから2人の委員を選ぶ
・11種類のトッピングから2つを選ぶ
・11枚のカードから2枚を同時に引く
・11冊の本から2冊を購入する
・11人のチームから2人をペアにする
いずれも「AとBを選ぶ」ことと「BとAを選ぶ」ことは同じ組み合わせとして扱います。順番が関係ないため、組み合わせ(C)を使用するのです。
もし順番を考慮するなら順列(P)を使います。たとえば「11人から委員長と副委員長を選ぶ」場合は11P2となるでしょう。組み合わせと順列の違いをしっかり理解することが、正しい計算への第一歩なのです。
11C2と11C9の対称性
11C2を理解する上で重要なのが、11C9との関係です。実は、11C2 = 11C9という等式が成り立つのです。
| 視点 | 11C2 | 11C9 |
|---|---|---|
| 意味 | 11個から2個を選ぶ | 11個から9個を選ぶ |
| 別の視点 | 11個から9個を選ばない | 11個から2個を選ばない |
| 答え | 55 | 55 |
この関係が成り立つ理由は、対称性の法則によるもの。11個から2個を選ぶことは、言い換えれば11個から9個を選ばないこと。逆に、9個を選ぶことは2個を選ばないことと同じ。
つまり、選ぶ2個と選ばない2個が一対一で対応するため、組み合わせの総数も等しくなるのです。この性質を知っていれば、11C9を計算する際に11C2として計算できるため、効率が大幅に向上するでしょう。
なぜ11C2を学ぶ必要があるのか
11C2は組み合わせの中でも、実用性が高く重要な計算です。その理由を整理してみましょう。
1. 確率問題で非常に頻出のパターン
2. 2個選ぶという実用的な場面が多い
3. より複雑な組み合わせの基礎
4. nC2の公式を学べる
特に重要なのは、nC2 = n(n-1)/2という公式を理解することです。この公式を使えば、どんなnでも2個選ぶ組み合わせを素早く計算できます。
11C2 = 55という値は覚えておくと便利な数字。試験で頻出するため、計算方法とともに答えも記憶しておくとよいでしょう。
11C2の計算方法と答え
続いては、11C2の具体的な計算方法を確認していきます。
組み合わせの公式を使った計算
11C2を公式に従って計算してみましょう。
nCr = n! / (r! × (n-r)!)11C2の場合:
n = 11、r = 2なので
11C2 = 11! / (2! × 9!)
階乗を展開してみましょう。
11! = 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
9! = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
2! = 2 × 1 = 2
これを代入すると、9!が分子と分母で約分できます。
11C2 = (11 × 10 × 9!) / (2 × 9!)
= (11 × 10) / 2
= 110 / 2
= 55
したがって、11C2の答えは55です。
簡単な計算方法とコツ
実は、もっとシンプルな計算方法があります。分子にはnから順にr個だけ掛け算し、分母にはr!を置く方法です。
11C2 = (11 × 10) / (2 × 1)
= 110 / 2
= 55
この方法なら、大きな階乗を計算する必要がありません。手順は以下の通りです。
1. 分子:11から順に2個掛け算する → 11 × 10
2. 分母:2!を計算する → 2 × 1
3. 分子÷分母を計算する → 110 ÷ 2 = 55
| ステップ | 計算内容 | 結果 |
|---|---|---|
| 1 | 分子を計算(11×10) | 110 |
| 2 | 分母を計算(2×1) | 2 |
| 3 | 分子÷分母 | 55 |
この計算なら、暗算でもできる人が多いのではないでしょうか。特に試験では時間が限られているため、効率的な計算方法を身につけておくことが重要です。
nC2=n(n-1)/2の公式
11C2のような「2個選ぶ組み合わせ」には、便利な公式があります。
nC2 = n(n-1) / 211C2の場合:
11C2 = 11 × 10 / 2 = 110 / 2 = 55
この公式を覚えておけば、どんなnでも2個選ぶ組み合わせを素早く計算できます。
・5C2 = 5×4/2 = 10
・10C2 = 10×9/2 = 45
・11C2 = 11×10/2 = 55
・20C2 = 20×19/2 = 190
・100C2 = 100×99/2 = 4,950
この公式は、2つのものを選ぶという日常的な場面でもよく使われます。握手の回数、試合の組み合わせ、ペアの作り方など、応用範囲は非常に広いのです。
たとえば11人が全員と1回ずつ握手する場合、握手の回数は11C2 = 55回となります。このように、nC2は実生活でも活用できる実用的な公式なのです。
11C2=11C9となる理由と対称性
続いては、なぜ11C2と11C9が等しくなるのかを確認していきます。
対称性の法則の数学的根拠
組み合わせには、nCr = nC(n-r)という重要な性質があります。これが対称性の法則です。
11の場合、以下のような対応関係が成り立ちます。
・11C0 = 11C11 = 1
・11C1 = 11C10 = 11
・11C2 = 11C9 = 55
・11C3 = 11C8 = 165
・11C4 = 11C7 = 330
・11C5 = 11C6 = 462
この法則が成り立つ理由を、公式から確認してみましょう。
11C2 = 11! / (2! × 9!)
11C9 = 11! / (9! × 2!)
分母の2!と9!の順序が入れ替わっただけで、掛け算なので結果は同じ。つまり、11C2 = 11C9が数学的に証明されるのです。
実際に11C9を計算して確認してみましょう。
11C9 = 11! / (9! × 2!)
= (11 × 10 × 9!) / (9! × 2)
= (11 × 10) / 2
= 55
確かに11C2と同じ値になります。
2個選ぶことと9個選ぶことの対応
具体例で考えると、対称性の意味がより明確になるでしょう。A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、Kの11人がいるとします。
| 11C2(2人を選ぶ) | 11C9(9人を選ぶ=2人を選ばない) |
|---|---|
| AとBを選ぶ | C〜Kを選ぶ(AとBを選ばない) |
| AとCを選ぶ | B、D〜Kを選ぶ(AとCを選ばない) |
| JとKを選ぶ | A〜Iを選ぶ(JとKを選ばない) |
11C2で「AとBを選ぶ」という1つの組み合わせは、11C9で「AとB以外の9人を選ぶ」という1つの組み合わせと完全に一対一で対応しています。
選ぶ2人と選ばない2人が対応するため、組み合わせの総数も必ず等しくなるわけです。この対称性を理解していると、計算がぐっと楽になります。
対称性を活用した計算の効率化
対称性の法則は、実際の問題を解く際に大きな武器となります。特にrがnの半分より大きい場合に活用すると効果的でしょう。
r > n/2 のとき、nC(n-r)に変換して計算する例:
・11C9 → 11C2に変換
・20C18 → 20C2に変換
・100C98 → 100C2に変換
変換することで、分子の掛け算の回数が減り、計算ミスも防げます。11C9なら本来は分子が9個の掛け算が必要ですが、11C2に変換すれば11×10の2個だけで済むのです。
分子:11×10×9×8×7×6×5×4×3(9個の掛け算)
分母:9!(巨大な数)
11C2に変換:
分子:11×10(2個の掛け算)
分母:2(小さな数)
試験では時間との戦いです。対称性を使いこなせれば、計算時間を大幅に短縮できるでしょう。常にrとn-rを比較し、小さいほうで計算する習慣をつけることをおすすめします。
11C2の覚え方と実践的活用法
続いては、11C2を確実にマスターし実践で活用するためのポイントを確認していきます。
効率的な覚え方と計算パターン
11C2のような小さな組み合わせは、答えを覚えてしまうのも一つの方法です。
11C2 = 11 × 10 / 2 = 55
覚え方:
nC2 = n(n-1)/2という公式を覚える
11C2の場合:
11 × 10 ÷ 2 = 55
よく使われる組み合わせの値を表にまとめました。
| 組み合わせ | 計算式 | 答え |
|---|---|---|
| 10C2 | 10×9/2 | 45 |
| 11C2 | 11×10/2 | 55 |
| 12C2 | 12×11/2 | 66 |
| 20C2 | 20×19/2 | 190 |
特にnC2 = n(n-1)/2という公式は覚えておくと便利です。これを使えば、どんなnでも2個選ぶ組み合わせを素早く計算できるでしょう。
実際の確率問題での応用例
11C2は、実際の確率・場合の数の問題でどのように使われるのでしょうか。典型的な問題を見てみましょう。
1から11までの数字が書かれた11枚のカードがある。この中から2枚を同時に引くとき、両方とも偶数である確率を求めよ。解答
全体の場合の数:11C2 = 55通り
偶数のカード:2、4、6、8、10の5枚
両方偶数となる場合:5C2 = 10通り
確率:10/55 = 2/11
このように、全体の場合の数として11C2を使うことが非常に多いのです。
別の例も見てみましょう。
11人でテニスのダブルスをする。最初の試合に出る2人のペアを作る方法は何通りあるか。解答
最初の2人の選び方:11C2 = 55通り
答え:55通り
11C2単体だけでなく、他の組み合わせと組み合わせて使うことも多いのです。
男子7人、女子4人の計11人から、2人の委員を選ぶ。このとき、男子が1人、女子が1人となる選び方は何通りか。解答
男子1人の選び方:7C1 = 7通り
女子1人の選び方:4C1 = 4通り
全体の選び方:7 × 4 = 28通り
(確認:全体の選び方11C2 = 55通り)
基本をしっかり押さえておけば、こうした応用問題にも柔軟に対応できるでしょう。
よくある間違いと対策
11C2の計算でよくある間違いとその対策をまとめました。
→正しくは(11×10)/2 = 55
間違い2:分母の2!を忘れる
→11×10 = 110と計算してしまう
間違い3:11C2と11P2を混同
→順列11P2 = 110と間違える
間違い4:約分を忘れる
→110/2をそのまま答えにする
これらのミスを防ぐには、公式の意味を理解することが重要です。なぜ分母に2!があるのか、なぜ分子は11×10なのかを理解していれば、機械的なミスは減るでしょう。
また、計算後に必ず「答えが妥当か」をチェックする習慣も大切です。11C2なら、11C1=11より大きく、11C3=165より小さい値になるはず。55という答えはこの範囲に収まっているので、正しいと判断できます。
まとめ
11C2の計算方法と答えについて、基礎から応用まで詳しく解説してきました。
11C2は「11個から2個を選ぶ組み合わせ」を表し、答えは55です。計算方法は、公式nCr = n!/(r!×(n-r)!)を使い、11C2 = 11!/(2!×9!) = (11×10)/2 = 55となります。簡易計算法を使えば、分子に11×10、分母に2×1を置いて計算するだけ。暗算でも可能な計算です。
重要なポイントは、対称性の法則により11C2 = 11C9となること。これは「2個を選ぶ」ことと「9個を選ぶ(=2個を選ばない)」ことが対応しているためです。この性質を理解すれば、複雑な計算も効率的に解けるようになるでしょう。
覚え方のコツとしては、nC2 = n(n-1)/2という公式を覚えること。これを使えば、どんな数でも2個選ぶ組み合わせを素早く計算できます。また、実際の問題では全体の場合の数として11C2を使うケースが多いため、確率計算との関連も意識しておくとよいでしょう。
11C2は組み合わせの基本的で実用的なパターン。ここで学んだ計算方法や対称性の考え方は、11C3、11C4といったより複雑な組み合わせを理解する土台となります。焦らず丁寧に基礎を固め、確率・場合の数の問題を自信を持って解けるようになりましょう。
