数学の組み合わせ計算で「11C10」という表記を見たとき、どのように考えればよいのか迷ったことはありませんか。
11個のものから10個を選ぶという状況は、ほとんど全部を選ぶケースです。一見すると複雑な計算が必要に思えるかもしれませんが、実は驚くほどシンプルに答えが出せます。
11C10には重要な性質があり、それが「11C10=11C1」という対称性です。本記事では11C10の計算方法から答え、そしてなぜ11C1と同じになるのかという理由まで、丁寧に解説していきます。組み合わせの本質的な考え方や効率的な計算方法もお伝えしますので、数学に苦手意識がある方でも安心して読み進めてください。
11C10の答えは11【結論と計算方法】
それではまず11C10の答えと計算方法について解説していきます。
11C10の答えは11になる
11個のものから10個選ぶ組み合わせの数は11通りということになります。この答えは直感的にも理解しやすいでしょう。11個から10個選ぶということは、1個だけ選ばないということだからです。
選ばない1個を決める方法が11通りあるため、答えは11になります。この考え方が、後ほど説明する対称性の理解につながるのです。
組み合わせの公式を使った計算
組み合わせnCrの基本公式を使って計算してみましょう。
この公式に11C10を当てはめます。
= 11! / (10! × 1!)
= (11 × 10!) / (10! × 1)
= 11 / 1
= 11
10!が分子と分母で約分されるため、結局11÷1=11という非常にシンプルな計算になります。大きな階乗を計算する必要はまったくないのです。
11C1として計算する方が直感的
組み合わせの対称性を利用すれば、さらに分かりやすくなります。
したがって
11C10 = 11C(11-10) = 11C1
11C1は「11個から1個選ぶ組み合わせ」なので、答えは明らかに11です。わざわざ公式を使わなくても、11個のうちどれか1個を選べばよいので11通りと分かるでしょう。
この考え方を使えば、計算ミスもなくなり、試験などでも素早く答えられます。
11C10=11C1となる理由【対称性の本質】
続いては11C10と11C1が同じ値になる理由を確認していきます。
選ぶことと残すことは同じ
11個のものから10個を選ぶという行為は、見方を変えれば11個のものから1個を残す（選ばない）という行為と完全に同じです。
例えば1から11までの番号が付いた11個のボールがあるとします。この中から10個選ぶとき、選んだ10個が決まれば、残った1個も自動的に決まります。
逆に、残す1個を先に決めれば、選ぶ10個も自動的に決まるでしょう。つまり「10個選ぶ方法」と「1個残す方法」は、数え方が違うだけで本質的には同じなのです。
具体例で理解する一対一対応
具体的な例で考えてみましょう。
選ぶ3個 → 残す1個
ABC → D
ABD → C
ACD → B
BCD → A
4通りの選び方があり、4C3 = 4C1 = 4
このように、選ぶ組み合わせと残す対象は一対一に対応しています。11C10の場合も全く同じ原理が働いているのです。
| 選ぶ個数 | 残す個数 | 組み合わせ | 答え |
|---|---|---|---|
| 10個 | 1個 | 11C10 | 11 |
| 1個 | 10個 | 11C1 | 11 |
| 9個 | 2個 | 11C9 | 55 |
| 2個 | 9個 | 11C2 | 55 |
どの場合でも対称性が成り立っていることが分かります。
数学的証明と一般化
対称性を数式で確認してみましょう。
= n! / (n-1)!
= n × (n-1)! / (n-1)!
= n
nC1 = n! / (1! × (n-1)!)
= n × (n-1)! / (n-1)!
= n
よって nC(n-1) = nC1 = n
この関係は、nがどんな値でも成り立ちます。5C4=5C1=5、100C99=100C1=100というように、「全体からn個選ぶ」と「全体から1個選ぶ」は常に等しいのです。
nC(n-1)の計算パターンと覚え方
続いてはnC(n-1)型の組み合わせを効率的に計算するコツを確認していきます。
nC(n-1)=nというパターンを暗記する
組み合わせの計算で最も基本的なパターンの1つが、nC(n-1)=nという関係です。
・5C4 = 5
・10C9 = 10
・11C10 = 11
・20C19 = 20
・100C99 = 100
このパターンを覚えておけば、わざわざ公式を使わなくても瞬時に答えが分かります。「全体からn-1個選ぶ=1個だけ選ばない=n通り」と理解しておきましょう。
nC1=nも同時に覚える
nC(n-1)=nと合わせて、nC1=nも覚えておくと便利です。
11個から10個選ぶ → 11通り(11C10=11)
この2つは対称性によって必ず等しくなります。どちらの形で問題が出題されても、すぐに答えられるようにしておきましょう。
試験では「11C10を計算せよ」という問題が出ることもあれば、「11個から1個選ばない組み合わせ」という言葉の問題が出ることもあります。どちらも本質は同じなのです。
両端と端から1つの値を覚える
パスカルの三角形を思い浮かべると分かりやすいでしょう。
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
各行の両端は常に1(nC0とnCn)、端から1つ内側は常にその行の番号(nC1とnC(n-1))になっています。この規則性を覚えておけば、基本的な組み合わせはすぐに答えられます。
11C10を含む実践問題
続いては11C10が実際にどのような場面で使われるのかを確認していきます。
選抜問題での応用
11C10は選抜や選出の問題でよく登場します。
委員会の構成は何通りありますか？
解答:11C10 = 11通り
(または「1人だけ選ばれない人を決める」と考えて11C1 = 11通り)
この問題は「誰を外すか」と考えた方が分かりやすいでしょう。11人のうち1人だけを外せばよいので、11通りの外し方があります。
別の例として、「11個の商品から10個を購入する方法」や「11枚のカードから10枚を配る方法」なども同じ計算になるのです。
確率問題での活用
確率の問題でも11C10が使われます。
このくじから1本引いたとき、当たりを引く確率は？
解答:
当たりの配置パターン = 11C10 = 11通り
(どの1本をはずれにするかで11通り)
当たりを引く確率 = 10/11
このように、当たりとはずれの配置を数える際に組み合わせの計算が必要になります。11C10という計算は、実質的には「はずれ1本の位置を決める」ことと同じなのです。
不良品検査の問題
品質管理の問題でも応用されます。
10個を出荷したとき、不良品が含まれない確率は？
解答:
不良品を含まない10個の選び方 = 良品10個から10個すべて選ぶ = 1通り
全体の10個の選び方 = 11C10 = 11通り
確率 = 1/11
この問題では、11C10が「全体からどの10個を選ぶか」という分母として使われています。対称性を理解していれば、「どの1個を残すか」と考えて11通りとすぐに分かるでしょう。
まとめ
11C10の計算方法と答えについて詳しく解説してきました。
11C10の答えは11であり、これは組み合わせの公式を使っても、対称性を利用しても同じ結果が得られます。最も効率的な方法は、11C10=11C1という対称性を利用して「11個から1個選ぶ」と考えることです。
11C10=11C1となる理由は、「11個から10個を選ぶこと」と「11個から1個を選ばないこと」が表裏一体の関係にあるからでした。選んだ10個が決まれば選ばなかった1個も自動的に決まるため、場合の数は完全に一致するのです。
nC(n-1)=nというパターンは組み合わせの基本中の基本なので、必ず覚えておきましょう。このパターンを知っていれば、複雑な計算をせずとも瞬時に答えが出せます。
11C10のような「ほとんど全部を選ぶ」組み合わせは、「少しだけ選ばない」と考え方を転換することで、驚くほど簡単に計算できます。数学における視点の転換の重要性を感じていただければ幸いです。
