10C3の計算方法や答えは(数学の確率・場合の数・組み合わせ・組み合わせ)? 求め方や覚え方のコツも!10C7と同じ?【なぜ】

組み合わせの計算において、10C3は実践的な問題で非常によく登場する重要な計算です。「10個から3個を選ぶ組み合わせ」という設定は、確率問題や場合の数の問題で頻出のパターン。

「10C3の計算方法が分からない」「答えはいくつになるの?」「10C7と同じ値になるって聞いたけど、なぜ?」こうした疑問を持つ方は多いでしょう。10C1や10C2は比較的簡単ですが、10C3になると計算が複雑に感じるかもしれません。

しかし心配は無用です。公式に従って順番に計算すれば、誰でも正確に答えを導き出せます。さらに、10C7との対称性を理解すれば、計算の効率が格段に上がるのです。

本記事では、10C3の計算方法と答えを基礎から丁寧に解説します。組み合わせの公式の使い方、階乗の約分テクニック、10C7との関係性、そして覚え方のコツまで、確率・場合の数を得意分野にするための情報を網羅的にお届け。実際の問題での活用法も紹介しますので、ぜひ最後までご覧ください。

10C3とは?3個選ぶ組み合わせの意味

それではまず、10C3が何を表しているのかについて解説していきます。

10C3が表す具体的な状況

10C3は「10個の異なるものの中から3個を選ぶ組み合わせの総数」を意味します。ここで重要なのは、選ぶ順番は考慮しないという点です。

日常生活や試験問題で登場する具体例を見てみましょう。

いずれの場合も、「A、B、Cを選ぶ」ことと「B、C、Aを選ぶ」ことは同じ組み合わせとして扱います。順序は関係ないため、組み合わせ(C)を使うのです。

もし「10人から会長、副会長、書記を選ぶ」のように役職が決まっていれば、順番が重要になるため順列(P)を使います。組み合わせと順列の違いを明確に理解することが、正しい計算への第一歩でしょう。

なぜ10C3は重要なのか

10C3は組み合わせの中でも特に重要な位置を占めています。その理由を見てみましょう。

重要性の理由	詳細
確率問題での頻出度	「3個選ぶ」設定は実際の試験で非常に多い
計算の難易度	簡単すぎず難しすぎない、理解度を測る適切なレベル
応用範囲の広さ	10C3の理解が他の組み合わせ計算の基礎となる
実生活での活用	グループ分け、チーム編成など実用的な場面が多い

特に大学入試の確率問題では、「複数個を選ぶ」という設定が好まれます。10C3はその代表例。ここをマスターすれば、確率・場合の数全体への理解が深まるのです。

また、10C3=120という値は、後述する10C7とも等しく、対称性の理解を深める絶好の教材でもあります。焦らずじっくり学んでいきましょう。

組み合わせと順列の違いを具体例で確認

10C3と10P3の違いを、具体例で確認してみましょう。A、B、C、D、E、F、G、H、I、Jの10人がいるとします。

実際、10P3 = 10C3 × 3!という関係があります。3個のものを並べる方法が3!=6通りあるため、順列は組み合わせの6倍になるのです。

計算すると、10C3=120、10P3=720。確かに6倍の関係が成り立っています。問題文をよく読んで、順番が重要かどうかを判断することが大切でしょう。

10C3の計算方法と答え

続いては、10C3の具体的な計算方法を確認していきます。

組み合わせの公式を使った基本計算

10C3を計算するには、組み合わせの公式を使います。基本公式は以下の通りです。

階乗を展開してみましょう。

10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
3! = 3 × 2 × 1 = 6

これを代入すると、7!が分子と分母で約分できます。

10C3 = (10 × 9 × 8 × 7!) / (6 × 7!)
= (10 × 9 × 8) / 6
= 720 / 6
= 120

したがって、10C3の答えは120です。

効率的な計算手順とコツ

実際の計算では、より効率的な方法を使いましょう。分子には10から順に3個だけ掛け算し、分母には3!を置く方法です。

この方法なら、大きな階乗を計算する必要がありません。さらに工夫として、途中で約分することもできます。

10 × 9 × 8 / (3 × 2 × 1)

ここで、9と3で約分すると:
10 × 3 × 8 / (1 × 2 × 1)

さらに8と2で約分すると:
10 × 3 × 4 / 1 = 120

計算方法	メリット	デメリット
階乗の定義通り計算	確実で間違いにくい	計算量が多い
簡易計算法	計算が速い	公式の理解が必要
途中で約分	最も効率的	約分のミスに注意

試験では時間が限られているため、途中で約分する方法がおすすめです。ただし、約分に自信がない場合は、確実に計算できる方法を選びましょう。

計算の検算と確認方法

計算ミスを防ぐため、答えが正しいか確認する方法を知っておきましょう。

10C3 = 120という答えが妥当かどうか、段階的にチェックできます。

また、別の角度から確認する方法もあります。nCr = nC(r-1) + (n-1)C(r-1)というパスカルの三角形の性質を使えば、10C3 = 10C2 + 9C2 = 45 + 36 = 81…あれ、120にならない?

実は正しくは10C3 = 9C3 + 9C2という関係。9C3 = 84、9C2 = 36なので、84 + 36 = 120となり、確かに正しいことが確認できるのです。

ただし、基本的には一度丁寧に計算すれば十分。検算に時間をかけすぎず、最初から正確に計算する習慣をつけるほうが効率的でしょう。

10C3=10C7となる理由と対称性の活用

続いては、なぜ10C3と10C7が等しくなるのかを確認していきます。

組み合わせの対称性を理解する

組み合わせには、nCr = nC(n-r)という重要な性質があります。これが対称性の法則です。

10の場合、以下のような対応関係が成り立ちます。

この法則が成り立つ理由は、「選ぶ」という行為と「選ばない」という行為が表裏一体だから。10個から3個を選ぶことは、言い換えれば10個から7個を選ばないことと同じなのです。

実際に10C7を計算してみましょう。

10C7 = 10! / (7! × 3!)
= (10 × 9 × 8 × 7!) / (7! × 6)
= (10 × 9 × 8) / 6
= 720 / 6
= 120

確かに10C3と同じ値になります。

なぜ3個選ぶことと7個選ぶことが対応するのか

具体例で考えると、対称性の意味がより明確になるでしょう。A、B、C、D、E、F、G、H、I、Jの10人がいるとします。

10C3(3人を選ぶ)	10C7(7人を選ぶ=3人を選ばない)
A、B、Cを選ぶ	D、E、F、G、H、I、Jを選ぶ(=A、B、Cを選ばない)
A、B、Dを選ぶ	C、E、F、G、H、I、Jを選ぶ(=A、B、Dを選ばない)
D、E、Fを選ぶ	A、B、C、G、H、I、Jを選ぶ(=D、E、Fを選ばない)

10C3で「A、B、Cを選ぶ」という1つの組み合わせは、10C7で「A、B、C以外の7人を選ぶ」という1つの組み合わせと完全に一対一で対応しています。

選ぶ3人と選ばない3人が対応するため、組み合わせの総数も等しくなるわけです。この性質を理解していると、複雑な計算も驚くほど簡単になるでしょう。

対称性を使った計算の効率化テクニック

対称性の法則は、実際の問題を解く際に非常に有効です。特にrがnの半分より大きい場合に活用しましょう。

具体的な例で効果を見てみましょう。

このように、対称性を知っているかどうかで、計算の難易度が天と地ほど変わるのです。試験では必ず活用すべきテクニックでしょう。

常にrとn-rを比較し、小さいほうで計算する習慣をつけることをおすすめします。10C7なら10C3に、20C18なら20C2に変換して計算しましょう。

10C3の覚え方と実践的活用法

続いては、10C3を確実にマスターし活用するためのポイントを確認していきます。

効果的な覚え方と計算パターン

10C3のような頻出の組み合わせは、計算方法とともに答えも覚えてしまうと便利です。

nC3の一般的なパターンも覚えておくとよいでしょう。

組み合わせ	計算式	答え
5C3	(5×4×3)/(3×2×1)	10
6C3	(6×5×4)/(3×2×1)	20
10C3	(10×9×8)/(3×2×1)	120
20C3	(20×19×18)/(3×2×1)	1,140

nC3 = n(n-1)(n-2)/6という公式を覚えれば、どんなnでも3個選ぶ組み合わせを素早く計算できます。分母の6は3!=6から来ていることも理解しておきましょう。

実際の確率問題での使用例

10C3は、実際の確率・場合の数の問題でどのように使われるのでしょうか。典型的な問題を見てみましょう。

このように、全体の場合の数として10C3を使うことが非常に多いのです。

より複雑な例も見てみましょう。

10C3単体だけでなく、他の組み合わせと組み合わせて使うことも多いのです。基本をしっかり押さえておけば、こうした応用問題にも対応できるでしょう。

よくある間違いと注意ポイント

10C3の計算でよくある間違いとその対策をまとめました。

これらのミスを防ぐには、計算手順を確立することが重要です。まず分子を計算し、次に分母を計算し、最後に割り算。この順序を守れば、ミスは大幅に減るでしょう。

また、答えが妥当かチェックする習慣も大切です。10C3なら10C2=45より大きく、10C4=210より小さいはず。120という答えはこの範囲に収まっているので、正しいと判断できます。

まとめ

10C3の計算方法と答えについて、基礎から応用まで詳しく解説してきました。

10C3は「10個から3個を選ぶ組み合わせ」を表し、答えは120です。計算方法は、公式nCr = n!/(r!×(n-r)!)を使い、10C3 = 10!/(3!×7!) = (10×9×8)/6 = 120となります。簡易計算法を使えば、分子に10×9×8=720、分母に3!=6を置いて、720÷6=120と計算できるのです。

重要なポイントは、対称性の法則により10C3 = 10C7となること。これは「3個を選ぶ」ことと「7個を選ぶ(=3個を選ばない)」ことが対応しているためです。この性質を理解すれば、複雑な計算も効率的に解けるようになるでしょう。

覚え方のコツとしては、nC3 = n(n-1)(n-2)/6という公式を覚えること。分母の6は3!=6から来ていることを理解しておけば、忘れにくくなります。また、実際の問題では全体の場合の数として10C3を使うケースが多く、他の組み合わせと組み合わせて使うことも頻繁にあるため、柔軟な応用力を身につけておきましょう。

10C3は組み合わせの重要な基礎。ここで学んだ計算方法や対称性の考え方は、より複雑な組み合わせを理解する土台となります。確実にマスターして、確率・場合の数の問題を自信を持って解けるようになりましょう。